Libri di Samuele Maschio

Dimostrazioni indaga l'evoluzione del concetto di dimostrazione – una delle caratteristiche più significative e determinanti del pensiero matematico – attraverso episodi critici della sua storia. Dal teorema di Pitagora ai tempi moderni, e in tutte le principali discipline matematiche, John Stillwell dimostra che la dimostrazione è un concetto matematicamente vitale, che ispira l'innovazione e gioca un ruolo fondamentale nella produzione di nuova conoscenza. Stillwell inizia con Euclide e la sua influenza sullo sviluppo della geometria e dei suoi metodi di dimostrazione, per proseguire con l'algebra. Successivamente, i risultati analitici furono visti in un primo momento come “algebra infinitesimale”, e l'analisi divenne un'arena per prove algebriche e computazionali piuttosto che per prove assiomatiche nello stile di Euclide. Stillwell procede con la teoria dei numeri, la geometria non euclidea, la topologia e la logica, e scruta il profondo abisso tra l'aritmetica dei numeri naturali e i numeri reali. Laggiù, Cantor, Gödel, Turing e altri scoprirono che il concetto di dimostrazione è in definitiva parte dell'aritmetica. Questo fatto sorprendente impone limiti fondamentali su quali teoremi possono essere dimostrati e quali problemi possono essere risolti.

Questo eserciziario vuole essere un ausilio per gli studenti universitari alle prese con un corso base di logica. Consiste in una collezione di esercizi risolti su insiemi (notazione insiemistica e operazioni su insiemi, prodotto cartesiano e insieme potenza, relazioni e funzioni, cardinalità e numerali), metodi dimostrativi (dimostrazione contronominale, dimostrazione per assurdo, dimostrazione per casi, induzione matematica), logica e calcolo proposizionali (sintassi, semantica, tableaux, derivazioni di sequenze, teoremi, formule interderivabili e teorie proposizionali). Gli esercizi sono raccolti per argomenti introdotti da brevi rimandi alla teoria (pillole di teoria).

Un grande classico del problem solving scritto da un giovane Terence Tao. L’autore, forte della sua esperienza di campione alle Olimpiadi Matematiche Internazionali (IMO), ci illustra le strategie per risolvere problemi matematici attraverso una grande varietà di esempi tratti dalla teoria dei numeri, dall’algebra, dalla geometria e da molti altri settori della matematica. Nell’affrontare i problemi il lettore viene invitato a seguire l’autore nella ricerca di una giusta strada che porti alla soluzione, analizzando le possibili tecniche e tattiche da adottare in ogni singolo caso. Un testo ideale per gli studenti, per gli insegnanti e, in generale, per tutti gli appassionati di matematica.

Il libro è una completa e variegata introduzione alle principali tecniche dimostrative. Gli argomenti incrociano trasversalmente i classici testi che si focalizzano su una disciplina particolare. Ogni sezione presenta esempi che illustrano le varie tecniche ed esercizi con cui il lettore può prendere dimestichezza con la materia. Tecniche dimostrative è dedicato a chiunque, studente, docente o semplice appassionato, voglia avvicinarsi e prendere confidenza con il principale strumento del matematico: la dimostrazione.