Matematica e scienze

Il testo raccoglie gli appunti dell'insegnamento di Analisi Matematica I che l'autore tiene presso il Politecnico di Torino. In aggiunta agli argomenti tradizionali, che naturalmente sono trattati in dettaglio, esso contiene vari complementi riguardanti l'evoluzione storica di idee e concetti centrali nell'Analisi Matematica, così come problemi intriganti. Senza perdere di vista l'obiettivo più concreto dell'esame finale, il testo si propone quindi nel contempo di suscitare un interesse di tipo culturale nei confronti della materia. In questo senso, il volume può anche essere usato come complemento agli ottimi testi già in circolazione. Ogni lezione è corredata di numerosi esercizi di routine, con soluzioni.

Gli appunti che formano questo libro sono stati redatti per affiancare e sostenere le lezioni di Geometria del 1° semestre per studenti di Matematica e di Fisica, per supplire ed integrare il libro di testo scelto (cfr. [1] A. Basile e successive ristampe) come riferimento principale. Tale testo, a mio avviso, rappresenta una ottima base di studio dell’algebra lineare per studenti di primo anno di un corso di indirizzo scientifico e un sommario delle più rilevanti questioni della geometria. Altri testi sono indicati in bibliografia sia per quanto attiene l’algebra lineare, sia per quanto riguarda una visione più algebrica della geometria affine ed euclidea. L’algebra lineare (spazi vettoriali, matrici, determinanti, applicazioni lineari, sistemi lineari) è prerequisito sostanziale e fondamentale per questi appunti. Il libro si articola nel modo seguente: Sezione I, 1. Introduzione alla geometria affine, 2. Il piano affine reale, 3. Lo spazio affine 3-dimensionale reale. Sezione II, 1. Spazi vettoriali Euclidei, 2. Il piano affine Euclideo, Appendice – Le coniche, 3 - Lo spazio affine Euclideo 3-dimensionale, Appendice – La sfera.

In questo libro sono raccolti esercizi e problemi assegnati lungo gli anni in occasione delle prove scritte di esoneri e appelli del corso di Geometria 1. Sono parte integrante del testo Lezioni di Geometria affine ed Euclidea del piano e dello spazio 3-dimensionale reale (cf. [5]). Alcuni esercizi riguardano problematiche relative all’algebra lineare e, in modo limitato, anche alla geometria Euclidea del piano e dello spazio. Sono esposti in ordine cronologico, nella forma in cui sono stati assegnati. Nella Sezione I ci sono gli esercizi svolti, trascritti nella modalità in cui sono stati eseguiti e rappresentati in aula.

Il volume, suddiviso in quattro sezioni (Aspetti Epistemologici, Scienza e Società, Strategie della Ricerca, Grandi Sfide) affronta i rapporti tra le diverse forme di lettura della realtà, dando spazio a umanisti, esponenti delle scienze “dure”, scienziati sociali, medici e biologi, e al loro “fare scienza”, con lo scopo ultimo di analizzare l’impatto che dall’interazione di culture può risultare sulla società civile, in risposta alle sfide complesse poste dalla contemporaneità.

Utilizzati nella finanza come nella geometria, nella dinamica complessa, nella progettazione delle reti informatiche e nella rappresentazione grafica delle galassie, i frattali sono oggetti geometrici dotati di omotetia interna: la loro forma si ripete sempre uguale su tutte le possibili scale di riproduzione e ogni singola parte della figura, se ingrandita, ripropone forma e struttura dell'intero. Sono affascinanti immagini della complessità e compaiono come sistema di riferimento nella teoria del caos; si "esprimono" in forma di algoritmi. Dalla loro scoperta, avvenuta a opera di Mandelbrot nel 1975, hanno rapidamente preso possesso della ricerca scientifica, riuscendo a fornire sul piano matematico una spiegazione di tutto ciò che ha un comportamento caotico. In natura, sono molti gli oggetti frattali: gli alberi, le nuvole, il profilo delle montagne, la linea geomorfologica delle coste marine, i cristalli, le foglie e i fiori. "È possibile che in qualche modo i frattali trovino un riscontro nella mente umana, e per questa ragione le persone li riconoscono come immagini familiari".