Matematica

In che modo un abile giocoliere riesce a mantenere con estrema destrezza un'asta di legno in posizione verticale sul palmo della mano? Il sorprendente trucco si cela nella teoria dei sistemi e dei controlli automatici e nell'immenso fascino delle equazioni differenziali e del feedback. Non è necessario essere matematici per apprezzare la matematica descritta in questo libro. Essa è respirata nella sua profonda essenza e presentata agli occhi del lettore al fine di coinvolgerlo intellettualmente ed emotivamente. Concepito per studenti universitari (o semplicemente appassionati) di Ingegneria, Matematica e Fisica, “La Matematica Elementare del Feedback” è un libro al contempo divulgativo e di approfondimento, dall'esposizione rigorosa ed immediata, in cui il lettore è guidato attraverso una rete ragionata di domande e risposte, di indizi, prove e conclusioni. Un prologo ed un epilogo ben inquadrano il contesto poetico e sentimentale nel quale il libro svolge la sua trama e che ben dipingono lo scenario nel quale ciascuna pagina si inscrive. Capitoli e sezioni hanno titoli accattivanti – degni dei più coinvolgenti romanzi – che ne individuano essenze e motivazioni profonde. Esempi in Matlab-Simulink e Maple forniscono ai concetti teorici sostanza e verticale movimento verso il basso. Risultati sperimentali in suggestivi contesti applicativi donano al tutto avvolgente gusto e inebriante profumo. Un insieme di entusiasmanti esercizi, con cui il lettore può per gioco misurarsi, chiude il sipario.

Tra le materie di insegnamento, la matematica ha sempre avuto una cattiva reputazione; probabilmente perché pochi sanno rendere partecipe il non specialista del suo vero significato, della sua bellezza intrinseca. È questo l'arduo compito che si è prefisso Serge Lang affrontando, davanti a un vastissimo pubblico, problemi di matematica che hanno impegnato e impegnano tuttora matematici di professione, spaziando dall'algebra astratta (numeri primi, equazioni diofantee, terne pitagoriche, infiniti) alla geometria (aree, volumi, topologia). Il libro riunisce i testi di tre conferenze: gli argomenti affrontati sono sempre scelti tra quelli inclusi nei programmi scolastici tradizionali e resi comprensibili anche a un lettore non particolarmente preparato grazie alla vivacità e all'entusiasmo dell'esposizione.

Il testo, rivolto agli studenti di un primo insegnamento di Matematica nell'ambito di un corso di laurea triennale di area economica, è suddiviso in due parti. Nella prima si affronta lo studio di funzioni di una variabile reale; la seconda parte è dedicata all'algebra matriciale e in particolare ai sistemi di equazioni lineari. Per ciascun argomento vengono dapprima richiamati alcuni concetti e strumenti teorici essenziali; è poi presentato un'ampia selezione di problemi interamente svolti; infine, lo studente è invitato a mettersi alla prova con alcuni esercizi di cui è fornita solo una traccia di soluzione.

Il presente volume è strutturato in modo da essere utilizzabile in corsi di Geometria da 6 a 12 crediti per studenti di corsi triennali di Ingegneria. Una parte del testo fornisce le basi per la conoscenza dell'Algebra Lineare (vettori numerici, matrici, sistemi lineari) e della Geometria Analitica (punti, rette, piani, coniche e quadriche in equazione canonica). Successivamente vengono approfonditi argomenti relativi alle coniche, introdotti elementi di Geometria Differenziale delle curve nello spazio e ripreso lo studio dell'Algebra Lineare in un ambito più generale (spazi vettoriali e euclidei, applicazioni lineari, diagonalizzazione).

Questo testo copre in modo sintetico ma rigoroso tutti gli argomenti di cui tradizionalmente consistono gli insegnamenti di Geometria e Algebra Lineare dei corsi di laurea in Ingegneria. Lo scopo fondamentale di questo corso è l'introduzione di tecniche di manipolazione di tipo algebrico per oggetti di natura non algebrica (come sarebbero, ad esempio, numeri, polinomi, espressioni), bensì geometrica (come punti, rette, piani, curve, superfici). Svilupperemo un linguaggio astratto e dei metodi che si prestano a trattare in modo unificato (e a risolvere!) problemi apparentemente molto diversi tra loro. Questi problemi hanno tutti importanti motivazioni nel “mondo reale” (ad esempio in questioni provenienti dall'ingegneria), ma noi non avremo tempo di insistere su di esse: lasciamo ai corsi successivi l'illustrazione delle applicazioni della teoria qui descritta.

Il volume è stato ideato e scritto con il desiderio di presentare la matematica di più immediato rilievo applicativo e di privilegiare le idee e le intuizioni rispetto alle tecniche di calcolo. Gli studenti imparano a utilizzare e applicare la matematica lavorando su esempi concreti e su esercizi che li aiutano a comprendere le ragioni e le modalità di funzionamento delle diverse tecniche matematiche. Il linguaggio scelto è chiaro e lineare, e l'uso sistematico di illustrazioni e figure è utile per supportare l'intuizione geometrica.

In questo testo partendo dalla geometria euclidea attraverso un calcolo puramente geometrico tra punti si ottengono i numeri (dai naturali ai complessi) per astrazione da oggetti geometrici e in più tutto il nucleo della matematica, immutabile, al di là dei diversi paradigmi che si sono succeduti nel corso della sua storia.

Il volume è un estratto del testo "Fondamenti di Analisi matematica: dalle funzioni elementari al calcolo differenziale", (Aracne, 2014). In questa trattazione si propone un percorso originale, attraverso il quale i classici concetti del Calcolo vengono fatti risalire a proprietà individuabili nelle funzioni elementari.

La matematica ha raggiunto gradi di sofisticazione tali da far pensare che sia impossibile parlare a un pubblico vasto di teoremi scoperti nel XX secolo. In realtà, se si cerca con cura tra i risultati ottenuti in questo periodo, si scopre che ci sono delle eccezioni e che non tutto è inaccessibile a una persona con una cultura matematica di livello liceale. In questo piccolo libro sono stati raccolti alcuni di questi risultati e si è cercato di illustrarli con tutti i particolari, in modo che il lettore curioso possa seguirne la dimostrazione nei dettagli. La scelta rispecchia ovviamente i gusti dell'autore e in nessun modo può considerarsi completa.