Matematica

"Il testo, nato dalle lezioni del corso di matematica per le applicazioni economiche e finanziarie, è destinato a 'studenti di corsi di laurea triennale e magistrale in economia interessati ad approfondire alcuni strumenti matematici utili nella trattazione di problemi economici e finanziari'". (dalla Prefazione). Completano il manuale una raccolta di esercizi, alcune appendici e utili approfondimenti.

Obiettivo del testo è illustrare i contenuti essenziali, gli strumenti e le leggi fondamentali della Statistica utilizzando la massima chiarezza possibile. Il volume è strutturato in due parti. La prima parte espone i concetti della Statistica metodologica che spaziano dall'analisi e interpretazione dei dati relativi a uno o più fenomeni reali, propri della branca della Statistica descrittiva, allo studio probabilistico e inferenziale dei risultati campionari, argomento della Statistica inferenziale. In questa parte, infatti, sono esplicate le rappresentazioni grafiche più idonee alla descrizione delle distribuzioni statistiche e i principali indici di posizione, di variabilità e di forma utili per la loro sintesi. Sono, inoltre, esposti i concetti della teoria delle relazioni statistiche attraverso cui si evidenziano eventuali influenze o dipendenze tra due o più caratteri congiuntamente considerati. Un capitolo è dedicato alla teoria della probabilità, fondamento dei metodi inferenziali, a loro volta trattati nei successivi tre capitoli. La seconda parte del volume è dedicata alla Statistica applicata, distinta nei rami di Statistica economica, Statistica demografica e sociale e Statistica giudiziaria. Il volume si indirizza a studenti e a partecipanti a pubblici concorsi che necessitano di uno strumento didattico agile e di rapida consultazione in vista dell'esame e delle prove di concorso.

Il nome di Gottlob Frege è spesso ricordato come quello del fondatore del logicismo - che segna una rottura di paradigma dopo l'incontrastato dominio del modello aristotelico - e anche del "grandfather" della filosofia analitica per i suoi studi sul linguaggio. Dell'impresa fondazionale di Frege si tende spesso a constatare i limiti, ma di rado si è osato mettere in dubbio il carattere "rivoluzionario" della sua filosofia della logica e della matematica. Eppure, di fronte alle geometrie non euclidee, le radicali tendenze innovative del logico di Jena subirono un arresto: è quanto sostiene il grande storico della matematica Imre Toth nel saggio che qui si presenta come un contributo per molti versi "eccentrico" nella vasta letteratura critica su Frege. Per Toth, la geometria non euclidea non soltanto rappresentò uno sconvolgimento senza precedenti nella storia della matematica, ma fu anche una sorta di boccata d'aria per coloro che aspiravano a una verità senza dogmi e a conseguire uno spazio di libertà anche all'interno delle scienze esatte. A suo avviso la sostanziale incomprensione da parte di Frege della geometria non euclidea costituisce il limite principale del suo sistema, nell'ambito del quale non sarebbe possibile un'ontologia pluralista ma avrebbe posto una concezione univoca ed assolutista della verità, con riverbero sulle sue opinioni politiche e sociali.

Le nuove metodologie che caratterizzano sempre più scientificamente la statistica, prendono a base lo studio dei fatti che determinano i singoli fenomeni e le relazioni intercedenti tra questi fatti, per postulare particolari modelli che possono servire a spiegare i fenomeni stessi. La verifica dipende poi dalla conformità dei valori teorici, provenienti dal modello assunto come ipotesi di lavoro e di indagine, ai dati osservati. Il pensiero statistico, sia in Italia che nel resto del mondo, non è mai fermo, anche perché esso, per definizione, si evolve con continuità. Una scienza che cessa di progredire non è più scienza, ma storia; invece la statistica, come si vede anche dalle sue utilizzazioni nell'analisi dei fatti quotidiani, è sempre vivissima e attiva protagonista.

Il testo affronta dal punto di vista matematico ed analitico il linguaggio GDL, sfruttato all'interno di Archicad per generare componenti architettoniche ed oggetti di arredo. Questo linguaggio richiede competenze più nel campo della geometria descrittiva che in quello specifico della programmazione. La sua relativa semplicità permette di indagare, sperimentare e verificare svariati argomenti di geometria, che vanno molto oltre la semplice costruzione di elementi di arredo. Il testo, pertanto, non si propone come un semplice manuale di utilizzo del programma, dato che gli argomenti trattati rivestono un carattere generale di ricerca nel campo geometrico. Vengono esposti gli elementi fondamentali dell'algebra, del calcolo vettoriale e la relativa applicazione alle curve, oltre alla trattazione delle variabili prospettiche.

La gamma di argomenti trattati è piuttosto vasta e copre i principali prerequisiti della ricerca scientifica basata su modelli matematici. Si parte dagli spazi vettoriali e dall'integrale di Lebesgue per arrivare fino ai confini della ricerca teorica come lo studio di esponenti critici per le equazioni ellittiche semilineari e i problemi attuali della fluidodinamica. Questo lungo percorso attraversa la teoria degli spazi di Banach e di Hilbert, gli spazi di Sobolev, le equazioni differenziali, le trasformate di Fourier e Laplace alle quali sono premessi opportuni strumenti di analisi complessa. Sono state riportate tutte le dimostrazioni con un interesse didattico o applicativo; sono state invece omesse quelle dimostrazioni troppo tecniche o che richiedono troppe conoscenze. Questo libro ha l'ambizioso proposito di essere utile a un'ampia tipologia di lettori. I primi possibili beneficiari sono sicuramente gli studenti del secondo o terzo anno di un corso di laurea scientifico: qui di seguito troveranno quegli argomenti che servono per iniziare studi più approfonditi in Matematica e in altre discipline, specialmente la Fisica e l'Ingegneria. Ma questo libro potrebbe anche essere utile a studenti già laureati che intendano iniziare un dottorato di ricerca: contiene infatti il materiale di un corso di dottorato multidisciplinare tenuto per vari anni da Filippo Gazzola al Politecnico di Milano. Infine, questo libro potrebbe interessare anche a chi ha già abbandonato gli studi da tempo ma ha saltuariamente bisogno di utilizzare strumenti matematici: ci riferiamo sia a docenti universitari e alla loro ricerca, sia a professionisti e progettisti che intendano modellizzare un certo fenomeno, sia a nostalgici dei bei tempi quando erano ancora studenti.

Questo testo contiene complementi ed esercizi di Analisi matematica e Geometria analitica ed è rivolto agli studenti delle facoltà scientifiche. Il libro è diviso in capitoli per ogni singolo argomento. Molti degli esercizi sono completamente svolti e, ad ogni gruppo di questi ne segue un certo numero con relative risposte ed un altro ancora senza. Nell'ultimo capitolo sono raccolti dei temi d'esame (proposti nei corsi di laurea di Architettura ed Ingegneria). Questi ultimi gruppi di esercizi permetteranno agli studenti di controllare la loro preparazione e di scoprire così le loro eventuali lacune ed incertezze.

La geometria analitica è nota agli studenti fin dalla scuola media superiore almeno per quel che riguarda la geometria piana. Questo libro presenta la costruzione vettoriale della geometria analitica, a priori possibile in dimensione qualsiasi. Pur essendo il naturale completamento e la prosecuzione del libro di algebra lineare dello stesso autore e casa editrice (il collegamento esplicito avviene nel Capitolo 1), il presente volume può essere usato in maniera autonoma e indipendente da questo: infatti all'inizio dei Capitoli 2,3,4, riguardanti rispettivamente la geometria della retta, del piano e dello spazio, vengono richiamati in maniera sintetica gli elementi di teoria dei vettori necessari alla costruzione della geometria. In questi capitoli si è mantenuta una distinzione seppure non troppo marcata fra Geometria Affine e Geometria Euclidea. Particolare attenzione è dedicata allo studio dello spazio tridimensionale del quale spesso gli studenti non hanno una visione chiara. Nei Capitoli 5 e 6 vengono studiate le curve e le superfici con particolare riguardo alle coniche e alla loro riduzione a forma canonica; le quadriche invece sono studiate solo in equazione canonica. Anche in questo libro, senza perdere di vista un'impostazione rigorosa e coerente della teoria, si è insistito soprattutto sulle applicazioni pratiche, corredando ciascun argomento con grande dovizia di esempi ed esercizi svolti.

L'Algebra Lineare, disciplina che si occupa dei sistemi di equazioni lineari (cioè di 1° grado), porta direttamente alla considerazione delle matrici e dei vettori. La sua importanza è andata sempre più aumentando a causa delle sue svariate applicazioni, dagli ambiti teorici quali la costruzione vettoriale della Geometria o l'Analisi Numerica, a quelli pratici in Informatica, Fisica, Ingegneria, Economia etc. Basti pensare che quando si digitano una o più parole su un motore di ricerca vengono generate delle matrici che non sono visualizzate in quanto tali ma vengono elaborate dando luogo alla schermata di risposta. Scopo di questo libro è fornire agli studenti i fondamenti dell'Algebra Lineare, insistendo sulla sua applicazione pratica pur senza rinunciare a un'impostazione rigorosa e coerente della teoria. Il contenuto si articola in tre capitoli, nel primo dei quali si introduce il calcolo matriciale ed il suo uso nella risoluzione dei sistemi lineari. Nel secondo capitolo si studiano gli spazi vettoriali con particolare riferimento agli spazi R n e agli spazi di vettori geometrici; una forte attenzione è dedicata all'introduzione delle coordinate, al prodotto scalare e alle proiezioni ortogonali. Lo studio delle applicazioni lineari e degli operatori viene sviluppato nel terzo capitolo: il problema della diagonalizzazione conduce alla considerazione degli autovalori ed autovettori di un operatore e trova il suo coronamento nel teorema spettrale per gli operatori simmetrici. Conclude l'opera un'appendice sui numeri complessi. Ciascun argomento è corredato di numerosi esempi ed esercizi.

Passando sotto un ponte, l'architetto si domanda perché ha proprio quella forma, l'ingegnere cerca di capire con quali materiali è stato costruito, lo storico riflette sul ruolo di quel ponte nell'epoca in cui è stato edificato... e il matematico? Il matematico, dal canto suo, pensa a come può descrivere in modo quantitativo il flusso dell'acqua, si chiede quale curva geometrica è stata scelta per dare forma all'arcata, osserva le decorazioni e vi scorge simmetrie. Con questo libro, Jamet ci invita a osservare il mondo che ci circonda attraverso la lente della matematica. Se credete che la matematica sia solo una faccenda di calcoli e figure geometriche, righelli e compassi, rischiate di rimanere sorpresi: la matematica è ovunque, e i matematici si interessano a ogni sua manifestazione. Nella cucina di casa, ad esempio, si nasconde un vero tesoro matematico, dalla tassellatura simmetrica delle piastrelle alle proprietà topologiche di tazze e scodelle. Calcolo delle probabilità e statistica, teoria dei giochi, teoria dei numeri e geometria proiettiva non sono che alcuni dei temi trattati: per ognuno di essi, l'autore propone veri e propri esperimenti matematici di facile realizzazione, accompagnati da aneddoti storici e curiosità. Il lettore è avvertito: una volta indossate le lenti del matematico, il mondo non sarà più lo stesso!