Matematica

Questo libro è stato scritto con l'intento di realizzare un testo rigoroso nei contenuti, ma anche snello e di facile lettura. Lo scopo è stato quello di facilitare il lavoro della maggioranza di quegli studenti che si avvicinano ai corsi di Analisi Matematica con il timore di non essere a priori in grado di comprendere a fondo l'argomento. Nello stesso tempo non è stato sottovalutato il desiderio di quanti vogliono approfondire argomenti appresi a lezione e risultati particolarmente interessanti.

La matematica, purtroppo, non è una disciplina particolarmente amata. Le "colpe" sono in generale riferite al suo linguaggio e all'astrattezza di molti concetti. Eppure la matematica comincia, come l'apprendimento della lingua materna o come la conoscenza del mondo, in modo spontaneo con le prime esperienze. La matematica non deve essere considerata come un'elaborazione di numeri. Per matematica si devono intendere le relazioni strutturali esistenti tra concetti relativi ai numeri e la loro applicazione ai problemi esistenti nella realtà. Molti hanno avuto paura della matematica. In questi casi si è verificata un'ansia di non riuscire a capire, risolvere i problemi, trovare le soluzioni. Spesso le conoscenze matematiche vengono presentate come verità assolute, prive di alcun legame con la realtà, presentandola quindi non collegata agli altri grandi settori della conoscenza umana, e ciò rende estremamente difficile insegnare ed apprendere la matematica stessa.

Lo scopo di questo testo è di introdurre il lettore allo studio della matematica discreta suggerendo un percorso che mette in risalto il legame tra le strutture algebriche e quelle combinatorie. Questo legame si evidenzia particolarmente nel dimostrare identità numeriche o polinomiali stabilendo biiezioni tra insiemi. Tali dimostrazioni, chiamate "biiettive", danno un significato al calcolo, che si traduce appunto in un calcolo tra insiemi, e hanno inoltre il vantaggio di poter essere spesso descritte con semplici algoritmi. La prima parte del testo è dedicata alla combinatoria enumerativa di base: princìpi del calcolo combinatorio, successioni numeriche fondamentali e relazioni ricorsive lineari omogenee. Sono presentate le successioni di polinomi di tipo binomiale, le loro principali proprietà e il loro legame con le serie formali esponenziali. Nella seconda parte sono introdotti i reticoli e si mostra come il principio di inclusione-esclusione può essere considerato una proprietà di certi reticoli distributivi.