Matematica

Quando siamo bambini ci insegnano la somma e la moltiplicazione. Poi ci raccontano di sumeri, assiri e babilonesi. E nel frattempo danno per scontati concetti più importanti, come se li considerassero già consolidati nelle nostre teste, o forse solo troppo scivolosi. E se ci fossimo persi qualcosa? Se imparare a saperli usare davvero ci aiutasse a vivere meglio la realtà in cui siamo immersi? Convinto di questa tesi, il prof Vincenzo Mauro si è dato una missione: aiutarci ad addomesticare statistica e calcolo delle probabilità (diciamocelo, tra le discipline matematiche più odiate) attraverso le sue strane storie su TikTok. In questo libro ci accompagna tra gli enigmi e i misteri di queste scienze, ci parla di teoremi che hanno fatto venire alle mani la comunità scientifica, monetine che scelgono la sorte di un ragazzo (e del rock and roll), dimostrazioni da perderci la testa (e pure la vita). E poi ci spiega perché gli alieni esistono, ci mostra i lati oscuri dell'universo, e come alcune verità smettano di funzionare quando non guardiamo… Preparatevi a scoprire che la matematica ci riguarda più da vicino di quel che pensavamo. E che, se sapete come affrontarla, non è poi difficile come sembra.

La matematica è spesso percepita dagli studenti come materia astratta e lontana dalla realtà, generando difficoltà di apprendimento sin dalla scuola primaria. Questa tesi esplora il Tinkering come metodologia didattica innovativa per rendere la matematica più concreta, accessibile e inclusiva. Attraverso l’analisi dei principi pedagogici del Tinkering, si evidenzia come possa contrastare l’astrazione precoce, l’ansia da prestazione e la trasmissività della didattica tradizionale. Il lavoro si compone di un inquadramento teorico e di due casi studio pratici dedicati a geometria e frazioni, con attenzione a setting, materiali, metodi di valutazione e strategie inclusive. L’obiettivo è fornire ai docenti strumenti concreti per integrare il Tinkering nei curricula, promuovendo un apprendimento attivo e significativo della matematica.

Perché sembra sempre che l'ascensore stia scendendo quando dobbiamo salire? È proprio vero che 0,99999… con un numero infinito di 9 dopo la virgola, sia uguale a 1? Che cosa hanno in comune le foglie di tè e l'erosione dei fiumi secondo Albert Einstein? Vedere un letto di fiori rossi aiuta a dimostrare che tutti i corvi sono neri? Possiamo dare un senso a una frase come “questa affermazione è indimostrabile”? Nel rispondere a queste e molte altre domande, George Szpiro guida i lettori attraverso l'enigmatico mondo dei paradossi, dai dialoghi socratici al problema di Monty Hall, presentando sessanta enigmi controintuitivi in diversi ambiti: non solo matematica, statistica, logica e filosofia, ma anche scienze sociali, fisica, politica e religione. Per ogni paradosso viene raccontata una storia avvincente, analizzato il suo meccanismo e considerate le situazioni della vita quotidiana in cui lo si può incontrare. In definitiva, sostiene l'autore, i paradossi non sono semplici rompicapo o astrusi giochi di parole: ci sfidano ad affinare il nostro ragionamento e a diventare più attenti alle falle del pensiero comune. Una lettura che stimola la mente e invita a vedere le infinite possibilità e impossibilità del mondo con occhi nuovi.

L'opera è il percorso che l'autore ha personalmente intrapreso nel momento in cui, mentre stava studiando per sostenere l'esame del corso di Radiotecnica all'Università degli Studi di Bologna, si è imbattuto più volte nell'integrale di Gauss o di Poisson, che peraltro aveva già incontrato nei precedenti corsi di analisi matematica, e nella sua generalizzazione, consistente nell'integrale su tutti i reali della distribuzione gaussiana moltiplicata per x^n, essendo n un numero naturale. Si è poi esteso il ragionamento al caso in cui l'esponente di e (numero di Nepero) è del tipo - ax^2 + bx, essendo a e b numeri complessi non nulli con Re[a] > 0 e l'autore si è chiesto se non fosse possibile riuscire a trovare delle formule in forma chiusa che potessero consentire di calcolare tutti gli integrali di quel tipo una volta assegnati i numeri a, b e n. L'opera si conclude proprio con la dimostrazione delle formule in forma chiusa trovate dall'autore, alcune delle quali sono state da tempo pubblicate sul sito di Eric Weisstein e sono ad oggi tuttora visibili.

Questo studio analizza, dopo una breve sintesi storica, i problemi didattici connessi con l’introduzione dei concetti di frazione, numero razionale e rappresentazione decimale dei numeri. L’approccio valuta gli aspetti e le problematiche legate alle diverse modalità di introduzione di tali concetti e il loro significato immediato relativo alle conoscenze e alle convinzioni pregresse degli studenti, provando a dare suggerimenti concreti per risolvere i frequenti problemi che si generano sia in termini di “ostacolo epistemologico” sia di errori di scrittura.

Ci troviamo davanti alla «Grotta dei Diamanti», la più grande scoperta di tutti i tempi nel campo dei numeri primi. Essa racchiude la soluzione tanto attesa di decine di congetture che aspettavano da secoli di essere confermate come vere. A partire dalla risoluzione del problema matematico più tormentato da millenni: i numeri primi gemelli sono senza un limite come i singoli primi? Euclide riuscì a dimostrare l'infinità dei numeri primi ma non quella dei gemelli. Ed ecco il verdetto invocato da 23 secoli: sì, i gemelli sono infiniti! Ma la cosa più sorprendente non è tanto la risposta, che in fondo era prevista, quanto invece la semplicità estrema della dimostrazione, alla portata di un fanciullo! La scoperta della «Grotta» è infatti emersa in "terza navigazione" dove le vele della conoscenza collettiva non funzionano più e bisogna nuotare a mani nude dentro il mare della mente. La Galassia che racchiude tutto questo non ha ancora un nome ma è stata scoperta recentemente dal presente autore. Essa ingloba la totalità delle congetture di tipo k-tuple sui numeri primi in un'unica architettura madre: il pattern di ogni sequenza di primi — front-end dei coprimi privi di HOPS — verrà ripetuto eternamente (eterno ritorno), un Teorema di Ricorrenza simile a quello di Poincaré. Inoltre, miriadi di Pattern Virtuali, che non hanno mai attraversato prima il muro che li separa dal reale, possono passare, dopo un intervallo a volte smisurato, dalla sfera della Potenza all'Atto, come avviene per la Costellazione Pentax.

Il libro presenta una trattazione approfondita su temi filosofici, scientifici e metafisici, con particolare attenzione alla natura dei numeri, alla realtà e alla mente. Il testo esplora se i numeri siano un’invenzione dell’intelletto umano o una scoperta basata sull’osservazione della realtà. La tesi principale sostiene che i numeri, insieme alle loro proprietà come infinità, illimitatezza e specularità, rappresentino i caratteri fondamentali della realtà. La mente viene analizzata in relazione alla sua capacità di comprendere concetti complessi come l’infinità e l’illimitatezza, ponendo domande sulla sua natura: è il risultato del processo evolutivo ovvero proviene da una fonte esterna alla realtà? La realtà viene proposta in una visione circolare ed equilibrata degli eventi, con una causalità reciproca che sfida l’idea del tempo lineare. L’approfondimento concettuale è rigoroso e ben argomentato, con riferimenti filosofici e scientifici che arricchiscono il testo. L’uso di esempi, come l’analogia tra particelle elementari e mattoni, rende più accessibili temi complessi. Il dialogo tra filosofia e scienza è ben integrato, mostrando come entrambe possano contribuire alla comprensione della realtà.

Questa raccolta di esercizi prepara a sostenere l'esame di Analisi matematica 2 e, grazie ai richiami di teoria, può essere usata da sola o affiancare qualunque manuale. È divisa in otto capitoli: 1. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili 2. Funzioni implicite 3. Ottimizzazione 4. Integrazione multipla 5. Linee e integrali di linea 6. Superfici e integrali di superficie 7. Successioni e serie di funzioni 8. Equazioni differenziali. Ogni capitolo è suddiviso in sezioni, ciascuna delle quali si apre con Richiami di teoria e prevede lo svolgimento preliminare di Esempi, che servono da guida alle principali tecniche risolutive. Ogni sezione propone esercizi divisi per tipologia, con soluzione alla fine del capitolo: Test a risposta multipla, Esercizi più tradizionali, domande di tipo Vero o falso e quesiti che richiedono di Trovare l'errore; concludono il capitolo Ulteriori esercizi, in genere più impegnativi e spesso di carattere teorico, le cui soluzioni sono disponibili sul sito del libro. Sandro Salsa è professore emerito di Analisi matematica presso il Politecnico di Milano. Annamaria Squellati è stata docente di Matematica presso l'Università Bocconi e il Politecnico di Milano. Le risorse digitali: universita.zanichelli.it/salsasquellati2_2e A questo indirizzo sono disponibili le risorse digitali di complemento al libro. Per accedere alle risorse protette è necessario registrarsi sumy.zanichelli.it inserendo il codice di attivazione personale contenuto nel libro. Libro con Ebook: Chi acquista il libro nuovo può accedere gratuitamente all'Ebook, seguendo le istruzioni presenti nel sito. L'accesso all'Ebook e alle risorse digitali protette è personale, non condivisibile e non cedibile, né autonomamente né con la cessione del libro cartaceo.

Efimov offre un'introduzione completa alla geometria analitica, suddivisa in due parti che esplorano i fondamenti della geometria del piano e dello spazio. Nella prima parte, il lettore viene guidato attraverso concetti fondamentali come l'equazione di una curva e le proprietà delle curve del primo e del secondo ordine. La seconda parte estende l'analisi allo spazio tridimensionale, trattando argomenti quali il prodotto scalare e vettoriale, l'equazione di una superficie e le superfici del primo e del secondo ordine. Elementi di geometria analitica è una risorsa essenziale per studenti, docenti e appassionati di matematica.

Per un secolo la Congettura di Poincaré è stata per i matematici una sorta di inafferrabile Santo Graal. Facile da formulare, sembrava quasi impossibile da provare: su di essa si sono infranti decine di brillanti matematici, alcuni rovinando la propria carriera, altri creando gli strumenti matematici che sarebbero serviti allo sviluppo di altre branche della scienza, come la teoria cosmologica delle stringhe. Ma la dimostrazione continuava a sfuggire, anche quando la sfida si è fatta più accanita, grazie al milione di dollari messo in palio dall'Istituto Clay per chi fosse riuscito nell'impresa. Fino a che nel 2003 un enigmatico matematico russo, Grigori Perelman, non ha trovato la soluzione. In un libro che a tratti assume i contorni del romanzo giallo, "L'enigma di Poincaré" racconta la straordinaria storia di uno dei più grandi problemi matematici di tutti i tempi e del genio solitario che lo ha risolto.

Il volume si apre con un dossier sulle basi matematiche e fisiche dell'intelligenza artificiale, in una prospettiva storica ed evolutiva, e continua con la storia di un primato italiano nella realizzazione di computer avanzati negli anni '60, attraverso la narrazione di un protagonista, per proseguire con la descrizione di alcune applicazioni della ricerca operativa (con esempi didattici) nella gestione ottimale di processi reali e sistemi sociali. Mostra anche alcuni sistemi di dimostrazione assistita dal computer e una brillante esposizione del concetto topologico di forma con esempi didattici e legami con arte e letteratura. Sul piano delle connessioni interdisciplinari ci sono anche le idee del matematico Vito Volterra spiegate in una unità didattica che spazia dall'impegno politico degli scienziati all'ecologia matematica e la teoria delle deformazioni elastiche. E nel centenario della nascita di Pasolini si analizza il suo romanzo dal titolo fortemente matematico: "Teorema".