Matematica

Il presente testo è basato su esercizi d'esame assegnati nell'ambito dei corsi di Metodi matematici della Fisica svolti presso la Sapienza - Università di Roma e l'Università degli Studi di Roma Tre dagli anni '80 fino ad oggi. Essi riguardano argomenti fondamentali del corso di laurea triennale in Fisica, ma sono di sicuro interesse anche per i corsi di laurea di Ingegneria e Matematica. Il libro è articolato in due sezioni: la prima dedicata alle funzioni di variabile complessa e la seconda agli spazi lineari e agli operatori che agiscono su di essi. Ogni sezione è suddivisa in capitoli costituiti da una breve introduzione teorica, da esercizi rappresentativi svolti e da una ricca collezione di esercizi da svolgere.

Il Volume, rivolto agli studenti dei Corsi di Laurea in Economia, approfondisce i temi classici della Matematica Finanziaria ed alcuni argomenti più avanzati, affrontati nell'ambito dei mercati obbligazionari, con un approccio di tipo problem solving. L'attenzione all'aspetto modellistico è coniugata con lo sviluppo, dal lato risolutivo, di metodologie che utilizzano il foglio elettronico, in aggiunta alle tradizionali tecniche di calcolo. Risultano pertanto trattati in maniera più esplicita gli argomenti nei quali l'aspetto computazionale è decisivo. Numerosi sono gli Esempi e gli Esercizi svolti, nel corso di ciascun Capitolo, sia con i metodi usuali sia con l'utilizzo di Excel. Vi è poi una specifica Sezione dedicata allo sviluppo di problemi e casi reali, risolti anch'essi in parte con i metodi consueti e in parte tramite il foglio elettronico.

"È un fatto ormai arcinoto che la riforma dell'Università italiana abbia oltremodo compresso gli spazi riservati alla Matematica Finanziaria ed Attuariale nei Corsi di Laurea in Economia. L'esigenza di insegnare i concetti fondamentali e gli ulteriori sviluppi di tali discipline in un monte ore complessivo che oscilla fra le 60 e 70 unità in tre anni, induce alla predisposizione di strumenti didattici che, senza abbandonare il rigore formale, privilegino l'immediatezza e la sinteticità delle nozioni impartite agli Studenti. Sulla base di tali considerazioni nasce il presente volume. Esso aspira a fornire agli Studenti di Economia un percorso omogeneo in cui le nozioni di base e i principali sviluppi della Matematica Finanziaria vengono proposti in forma semplice ma nel pieno rispetto del formalismo richiesto dalla disciplina. In questo senso il nostro maggior sforzo è stato quello di evidenziare le implicazioni pratiche di una materia che entra in modo oseremmo dire pervasivo nella maggior parte delle applicazioni di tipo economico, finanziario e aziendale. Questo volume affronta i temi caratteristici della Matematica Finanziaria classica di base, coprendo in maniera essenziale i temi in cui lo strumento matematico viene utilizzato secondo un approccio totalmente deterministico".

La matematica nella sua forma più pura, l'aritmetica come arte, raccontata nel suo sviluppo storico con precisione e passione letteraria. André Weil, tra i maggiori matematici del Novecento, ricostruisce in questo libro gli sviluppi della teoria dei numeri, cominciando da una tavoletta babilonese del tempo di Hammurabi, soffermandosi sull'opera del greco Diofanto e degli studiosi indiani, per concentrarsi poi soprattutto sull'esposizione dei risultati dei quattro autori che, tra Seicento e Ottocento, hanno fondato la moderna aritmetica: Fermat, Eulero, Lagrange, Legendre. È solo negli ultimi secoli, infatti, che questa disciplina - che nel Rinascimento era legata ancora alla numerologia - ha acquisito una propria autonomia specifica, slegandosi dall'analisi e dall'algebra.

Il presente volume è concepito come completamento ed estensione del testo “Matematica Finanziaria” dei medesimi autori e ne condivide l'impostazione di tipo problem solving. Lo sviluppo di numerosi casi di studio è realizzato ponendo particolare attenzione alla modellazione del problema, effettuata anche per via grafica. Dal lato risolutivo, i metodi sono spiegati nel dettaglio e con cura, in particolare quando si tratta di tecniche non elementari, come ad esempio i metodi numerici che intervengono nella determinazione del tasso implicito. Viene inoltre ribadita l'analisi delle tecniche che coinvolgono l'utilizzo del foglio elettronico, al fine di realizzare soluzioni automatiche di ampie classi di problemi. Attraverso le apposite sezioni denominate “Caccia all'errore” si esaminano inoltre gli errori più comuni riscontrati nelle risoluzioni e se ne esplicita l'origine, al fine di renderne più agevole l'eliminazione. Senza l'esigenza di completezza sui fondamenti teorici, si sviluppano infine approfondimenti e analisi empiriche su aspetti specifici ricorrenti al fine di individuarne la natura pur senza l'utilizzo di tecniche matematiche non elementari.

Questo volume intende presentare le nozioni fondamentali dell'aritmetica modulare, con particolare riguardo a quegli argomenti che costituiscono la base matematica della teoria dei codici e della crittografia. Non è richiesta al lettore una particolare conoscenza di nozioni di algebra o di teoria dei numeri, dal momento che tutte le definizioni ed i risultati necessari alla lettura sono riportati nel testo: è però utile una certa familiarità con il ragionamento matematico. Il contenuto del libro è organizzato nel modo seguente: nei primi 5 capitoli sono esposti gli elementi essenziali dell'aritmetica modulare, corredati dai principali algoritmi e da numerosi esercizi, sia svolti che proposti. I restanti 4 capitoli sono dedicati a complementi della teoria, in due direzioni essenzialmente diverse. Infatti, i Capitoli 6 e 7 intendono dare un'idea di come la teoria esposta venga utilizzata nella crittografia a chiave pubblica. I Capitoli 8 e 9 contengono invece un ulteriore approfondimento della teoria, e sono dedicati ad un'esposizione semplice, ma completa, della teoria dei campi finiti, anch'essa ampiamente utilizzata in crittografia e nella teoria dei codici. Infine, l'Appendice contiene alcuni cenni relativi alla complessità computazionale degli algoritmi, limitatamente a quanto è necessario alla comprensione del testo.

Questa trattazione rappresenta un naturale proseguimento del percorso tracciato in "Fondamenti geometrici per la matematica" (2014, Aracne) in cui si esaminano i fondamenti della matematica alla luce di una concezione della matematica che ritiene che il suo contenuto intellettuale risieda nelle sue idee, non nei simboli, e che le idee matematiche ricevano forma, come le altre, dalle nostre esperienze senso-motorie. In questa esposizione, che vuole essere elementare, curve e superfici sono considerate la fonte ispiratrice degli strumenti sviluppati dal calcolo. Il calcolo porta sempre in sé un'eredità di natura geometrica e il caso delle funzioni di una o due variabili è un caso semplificato che ha permesso l'evoluzione della teoria matematica di curve e superfici.

In questo testo, partendo dalla geometria euclidea, attraverso un calcolo puramente geometrico tra punti, si ottengono i numeri (dai naturali ai complessi) per astrazione da oggetti geometrici, e in più tutto il nucleo della matematica, immutabile, al di là dei diversi paradigmi succedutisi nel corso della sua storia. Il percorso individuato è fondato su motivazioni storiche ed è aderente ai recenti sviluppi delle scienze cognitive.

In questa trattazione viene proposto un percorso dinamico attraverso il quale classici concetti dell'Analisi matematica vengono fatti risalire a proprietà individuabili nelle funzioni elementari. Al di là del proposito fondativo, basato su ragioni epistemologiche e storiche, lo scopo di questa esposizione è quello di sviluppare una teoria più semplice e naturale, risultato che si ritiene si possa ottenere evidenziando le proprietà geometriche e analitiche dei grafici delle funzioni elementari.