Matematica

Nel cuore della scuola primaria, luogo privilegiato per la costruzione delle conoscenze di base e per lo sviluppo delle prime competenze trasversali, si colloca il progetto STI2MA, acronimo di Scienza, Tecnica, Ingegno, Italiano, Matematica e Arte. L’opera che docenti, educatori, formatori leggeranno, Pensare con la matematica, documenta e rilancia un’esperienza di ricerca-azione-formazione di un gruppo pilota di classe prima, nel tempo trasformata in un vero e proprio paradigma educativo. Il testo-guida non è solo una testimonianza progettuale, ma una proposta strutturata di rinnovamento della didattica della matematica in chiave interdisciplinare e sostenibile, nel solco delle Indicazioni Nazionali e dei più recenti orientamenti internazionali in materia di educazione alla cittadinanza globale. L’autrice mette a punto un curricolo integrato che muove dall’idea, tanto Montessoriana quanto di epistemologia scientifica contemporanea, secondo cui la matematica non è solo una disciplina ma un linguaggio per pensare, per interpretare il mondo, per agire con consapevolezza, per riflettere e per scoprire tutte le dimensioni del proprio universo culturale.

Questo testo, nato dopo lunga esperienza di insegnamento universitario, contempla la parte teorica di un corso di base di Algebra Lineare. È indicato per studenti dei Corsi di Studio di tipo scientifico (Matematica, Fisica, ecc.), tecnologico (Ingegneria, Architettura, ecc.) o statistico sociale (Economia, ecc.). Semplicità e rigore contraddistinguono la trattazione dei vari argomenti; numerosi esempi contribuiscono a chiarire i vari concetti introdotti che spesso risultano astratti allo studente. Due capitoli finali riportano vari testi di esercizi di riepilogo, molti dei quali sono stati oggetto di prove di esame. Inoltre, scannerizzando tramite fotocamera il QR-code - il codice cifrato presente sul retro del frontespizio interno nella presente pubblicazione -, è possibile accedere a contenuti multimediali online integrativi e aggiornabili nel tempo che potranno rappresentare un valido supporto ai fini della preparazione della materia in esame.

Gli argomenti presentati in questo libro sono quelli trattati nell'insegnamento di calcolo numerico per il corso di Laurea in Chimica e Tecnologie Chimiche dell'Università di Genova. Il testo è principalmente rivolto a tutti gli studenti che, pur non frequentando il corso di Laurea in Matematica, devono sostenere un esame di Calcolo Numerico. I principali argomenti esposti riguardano la soluzione di sistemi lineari, lo studio degli errori, l'approssimazione degli zeri di una funzione e l'interpolazione polinomiale. La teoria viene presentata cercando, per quanto possibile, di utilizzare un linguaggio chiaro e semplice, senza per questo rinunciare al rigore matematico. Ogni capitolo riguarda un argomento specifico ed è corredato da esempi. Una raccolta di esercizi svolti, relativi ai singoli capitoli, è presentata nel libro, della stessa autrice, “Esercizi svolti di Calcolo Numerico”, Società Editrice Esculapio (2024).

Questo libro è stato scritto per un corso di metodi analitici delle equazioni alle derivate parziali (EDP), che si tiene al Politecnico di Milano per il corso di studi in ingegneria matematica. Si tratta di un primo modulo di introduzione alle EDP, di 5 crediti, pensato anche in vista di un successivo modulo di metodi numerici per le EDP. Gli argomenti trattati comprendono anzitutto un'introduzione ai modelli più classici: le equazioni di Poisson, del calore, del trasporto lineare, delle onde. Attraverso queste equazioni si toccano molte idee di base delle EDP, trattando sia il punto di vista dei modelli fisici, sia lo studio delle proprietà matematiche di base delle equazioni (problemi ben posti, principi di massimo, proprietà di media, linee caratteristiche, regolarizzazione o meno di un'equazione...), sia le tecniche classiche di risoluzione esplicita dei problemi considerati (separazione di variabili, trasformata di Fourier, principio di sovrapposizione, metodo di Duhamel...). Successivamente si presentano i primi elementi della teoria delle soluzioni deboli in spazi di Sobolev, per problemi ai limiti per equazioni ellittiche, preceduti dalla necessaria introduzione degli spazi di Sobolev hilbertiani e dei problemi variazionali astratti in spazi di Hilbert. Un paio di capitoli più discorsivi e meno tecnici contengono l'uno la classificazione delle EDP lineari del second'ordine nei tipi ellittico, parabolico, iperbolico, l'altro un'introduzione alle relazioni tra la probabilità e le EDP. Il corso è pensato per studenti che oltre ai corsi matematici di base hanno seguito un corso di “analisi 3”, con primi elementi di integrazione alla Lebesgue, spazi Lp, trasformata di Fourier, geometria degli spazi di Hilbert, ecc. Nel testo si è comunque inserito un capitolo di “cassetta degli attrezzi”, che raccoglie tutti gli strumenti utilizzati nel corso che vadano oltre quelli più elementari. Riferimenti bibliografici dettagliati completano il testo, segnalando fonti dove reperire alcune dimostrazioni qui non fornite, o approfondimenti. Il testo è anche ricco di esercizi, sia di tipo standard, sui metodi di risoluzione esplicita di problemi ai limiti per le “equazioni classiche”, sia di approfondimento guidato della teoria. Svolgimenti dettagliati degli esercizi e complementi sono stati raccolti in un capitolo a sé, il Cap. 10, presente solo nella versione online del testo, in modo da alleggerire il libro cartaceo. La versione online del testo contiene anche alcuni video (animazioni di grafici di funzioni).

Il volume, dedicato agli studenti delle scuole superiori e agli studenti universitari che desiderino prepararsi per affrontare un corso di teoria della probabilità, contiene circa 250 esercizi svolti e commentati, distribuiti in 100 problemi di 8 diverse categorie. In appendice sono riassunte le regole e i principali teoremi della teoria della probabilità e del calcolo combinatorio. Il calcolo combinatorio è essenziale per lo studio elementare della probabilità ed è in generale necessario per svolgere gli esercizi del testo.

Problemi, sfide e quesiti ci guidano in vari ambiti della matematica: logica, algebra, geometria, calcolo combinatorio e probabilità. La matematica ludica parla sia ai grandi che ai piccoli e quindi anche questo libro, come i primi tre della serie, può essere letto da chiunque abbia voglia di cimentarsi con sfide di logica e di problem solving, a prescindere dall'età. Qui però gli autori fanno un passo in più e ci accompagnano tra quesiti dalla formulazione più astratta: un problema presentato con un linguaggio più teorico non è detto che sia necessariamente più complicato. Non mancano i problemi all'insegna di "un po' di relax" da fare in poltrona, prima di andare a dormire o, quando la stagione lo permette, sotto l'ombrellone. Completano il libro rubriche e inserti su crittografia, problemi isoperimetrici e probabilità.

Come fa un fattorino a consegnare tanti pacchi in un solo giorno? Perché l'Alaska ha un aeroporto così trafficato? È vero che è impossibile stabilire con precisione la lunghezza delle coste o dei confini? E dove dovremmo cercare i più imprendibili serial killer? Potrà sembrare strano, ma domande così diverse hanno un'unica risposta: la soluzione sta infatti nello stretto, strettissimo legame tra mappe e matematica. Nella "mappematica", insomma, per usare il termine coniato da Paulina Rowinska, che in queste pagine ci coinvolge in un affascinante viaggio per scoprire i fondamenti matematici della cartografia e come essa abbia influenzato la ricerca matematica. A partire da una mitica carta del Cinquecento che ancora oggi, nell'era dei satelliti e degli smartphone, rimane un indispensabile strumento per la navigazione, fino alle mappe dei distretti elettorali che possono decidere a quali comunità dare voce e potere, e ai fuorvianti schemi della metropolitana che «ingannano» i passeggeri, l'autrice mostra come mappe e matematica non solo modellano il nostro senso dello spazio e del tempo, ma anche la nostra visione del mondo, e come ci comportiamo al suo interno. Acclamato successo internazionale, ricchissimo di vicende e personaggi appassionanti, Mappematica ci trascina dall'antica Grecia alla Prussia del Settecento, fino ai giorni nostri, aiutandoci a conoscere meglio il pianeta su cui viviamo, i suoi abitanti, e a prendercene cura.

Lo Sregolario invita a ripensare l'insegnamento della matematica, sfidando l'abitudine di trasmettere regole rigide e nozioni da memorizzare, spesso percepite come assolute e immutabili. Attraverso brevi testi provocatori e pillole di riflessione, il libro stimola docenti e appassionati a discutere e riflettere, anche all'interno dei dipartimenti, sulle pratiche di insegnamento, ad aprirsi a modalità didattiche basate su argomentazione e risoluzione di problemi e a superare le pratiche dettate dalla "regolitósi" che spesso frena il pensiero critico e la creatività. Lo Sregolario invita a un cambiamento radicale e a un insegnamento che possa davvero trasformare il rapporto con la matematica.

Forse non è un caso, vista la profonda distanza che lo separa da Galileo nella visione della matematica, se questi scritti di Bruno, dopo essere stati accolti nella prima edizione delle Opere latine (1879-1891), non sono più stati pubblicati. Gli stessi curatori si dicevano persuasi che proponessero relitti del passato, superstizioni di un uomo appartenente al «mondo dei maghi» ed estraneo alla «rivoluzione scientifica» – giudizio condizionato dall’interpretazione del Rinascimento diffusasi a partire dall’Illuminismo. Questa nuova edizione, giunta ormai al sesto volume, si contrappone radicalmente a tale interpretazione, e assume piuttosto come guida i lavori di studiosi quali Burdach, Warburg, Garin, Yates, che tra la fine dell’Ottocento e la prima metà del secolo scorso hanno proposto del Rinascimento una lettura alternativa. I testi qui radunati, in particolare, rivelano quanto la matematica bruniana sia influenzata da elementi di carattere neoplatonico e legata al contempo a una concezione della realtà decisamente moderna: basti pensare al «minimo», nel quale viene individuata la struttura fondamentale della materia, e alla materia stessa indagata alla luce del concetto di «vita materia infinita». Come dimostra il ciclo dedicato a Fabrizio Mordente e alla scoperta del compasso – degno delle più belle pagine di Bruno –, inoltre, a contraddistinguere le Opere matematiche non è solo l’originalità filosofica, ma anche e soprattutto lo straordinario valore letterario.

Il matematico tedesco L. Collatz (1910-1990), osservò che moltiplicando un qualsiasi numero intero dispari per 3, aggiungendo 1 al prodotto ottenuto e dividendo il totale per 2 fino a ottenere nuovamente un intero dispari, continuando, in sequenza, a ripetere le suddette operazioni, l'algoritmo finisce sempre con l'intercettare una potenza del 2 la quale, a sua volta, a cascata, conduce al numero 1. Tale osservazione indusse Collatz a pensare che nell'insieme dei numeri naturali interi positivi non esiste un qualsiasi numero che, assoggettato all'algoritmo di che trattasi, esuli da tale traguardo, ovvero che l'algoritmo giunge sempre a termine, indipendentemente dal valore di partenza. Formulata nel 1937, tale congettura non è ancora dimostrata, tuttavia le estese prove empiriche non hanno mai fornito alcuna prova contraria il che induce a credere che la congettura sia vera. Il matematico ungherese Paul Erdos, a proposito di questa congettura, disse che "la matematica non è ancora matura per problemi di questo tipo". Lo studio, supportato da una sintetica formula matematica, mostra le, finora ignote, dinamiche aritmetiche che garantiscono l'eterna persistenza del fenomeno.

Questa seconda edizione di "Probabilità e Statistica" (la precedente ha avuto dieci ristampe) è più allineata con gli argomenti standard dei corsi di questa materia che si tengono al primo e al secondo anno della Laurea Triennale presso il Politecnico di Milano. Dalla precedente edizione sono stati eliminati contenuti che oggi sono più adatti a un corso di laurea specialistica. Gli argomenti attualmente trattati nel testo sono affrontati con un linguaggio semplificato e sorretto da moltissime illustrazioni che facilitano la comprensione. Qui di seguito gli argomenti del libro. Statistica descrittiva. Introduzione all'algebra dell'incerto con le definizioni fondamentali del Calcolo delle Probabilità. Variabili e vettori aleatori con le più comuni distribuzioni discrete e assolutamente continue e una particolare attenzione ai vettori gaussiani. Distribuzioni condizionate. Trasformazione integrale e tecniche di campionamento con gene-razione di numeri pseudocasuali su computer. Cenni al Metodo Monte Carlo. Comportamenti asintotici. Teorema centrale del limite. Stimatori e stime. Stima intervallare. Verifica delle ipotesi: test parametrici e non parametrici. Modelli lineari univariati di previsione. Cinquanta pagine di esercizi svolti. Un'appendice con gli argomenti di Analisi Matematica, Teoria degli Insiemi e Algebra lineare indispensabili per la comprensione della Probabilità e della Statistica. Fondamentali le biografie dei più eminenti scienziati che hanno lavorato nel campo della Probabilità e della Statistica. Rimangono inoltre un importante arricchimento, per la vita e non solo per la comprensione della materia, le epigrafi all'inizio di ogni capitolo.