Matematica

Il grande matematico Leonhard Euler (1707-1783) ha fatto un corso per corrispondenza alla principessa Sofia Fredericke di Brandenburgo. Ne è sorto il primo, autentico, libro divulgativo di matematica, fisica e filosofia naturale. Ma sembra che una lettera sia stata sequestrata dalle autorità russe durante la guerra dei sette anni. Perché? E qual era il suo argomento? Tre ricercatori, desiderosi di svelare il mistero, ne vanno alla ricerca nella moderna Russia sovietica.

Nel libro sono presentati ed approfonditi alcuni concetti basilari del mondo matematico come le frazioni, l'equivalenza, la somma degli angoli esterni ed interni dei poligoni convessi, le proprietà dei poligoni, con materiali e metodologie che facilitano l'acquisizione dei suddetti concetti. I contenuti del libro e le metodologie con cui sono presentati, sicuramente avvicineranno il lettore al mondo della matematica.

Uno degli scopi di questo eserciziario è quello di rendere più interessante il corso di Analisi 1 sottolineandone la differenza rispetto alla versione semplificata, imparata a scuola. Ad evidenziare la discontinuità rispetto alla scuola c'è sia il tipo di approccio, che mette in risalto i controesempi e le patologie, sia la scelta degli argomenti da evidenziare, tra i quali vengono privilegiati quelli non trattati a scuola, come successioni, sviluppi di Taylor e topologia di R. In particolare è stato evitato accuratamente che il capitolo 1, quello dei prerequisiti, diventasse un capitolo di ripasso mettendo in risalto argomenti non scolastici come topologia e cardinalità.

Chissà che la geometria non possa rivelarsi una forma d’arte. Questo volume si ripromette di dimostrarlo, utilizzandola come una lente per osservare in modo inedito architetture di oggi e di ieri. Sotto questa lente passano edifici di tutto il mondo, dalla cupola di San Pietro all’Opera House di Sydney, che si mostrano rispettivamente come un “ellissoide di rotazione” e un “intreccio di porzioni di sfera”. Così facendo mettono a nudo la propria “anima geometrica”, che è strettamente connessa con la loro storia, estetica, funzionalità, struttura... Architettura, arte e geometria si trovano più che mai avvinte in un abbraccio, che tiene insieme con passione alcune tra le più belle realizzazioni dell’uomo.

Sarà di certo successo anche a voi di navigare sui social media o accendere la TV e di trovarvi davanti una statistica che suona come una sentenza. Da quando è iniziata la pandemia di Covid-19, poi, siamo stati sommersi di dati e cifre: per dissipare incertezze, invitare alla prudenza o delineare il quadro della situazione. E allora diventa legittimo farsi delle domande. Di quali statistiche possiamo fidarci? Quali, invece, sarebbe meglio mettere in discussione? La tempesta di cifre che ci investe ogni giorno potrebbe portarci a considerare i numeri come nemici ingannevoli e fuorvianti, ma la verità è che la statistica è uno strumento essenziale per guardare il mondo: ci permette di individuare correlazioni che altrimenti ci sfuggirebbero, di costruire storie, supportare tesi o confutare opinioni. Tim Harford, economista e presentatore radiofonico, è un vero talento nel rendere accessibili ai suoi milioni di lettori anche i concetti più complicati, e in questo viaggio travolgente fra numeri, logica ed emozioni ci insegna a riconoscere i segni della disinformazione e del ragionamento fallace. Basandosi sulle più recenti teorie delle scienze cognitive e sociali, Harford ci fornisce dieci strategie (e una regola aurea) per interpretare la statistica con fiducia, curiosità e… una certa dose di sano scetticismo. A partire dall’analisi dei nostri bias cognitivi, passa in rassegna sia gli errori comuni – da cui, sostiene, non sono immuni neppure gli esperti – che i veri e propri paradossi statistici. Conducendoci alla scoperta di quel tesoro che sono numeri e dati raccolti in modo rigoroso, per permettere anche a noi di tirare le somme e capire un po’ meglio come funziona il mondo.

In modo forse ancora più marcato di quanto già non accada per altre materie economico-finanziarie, i concetti della matematica finanziaria richiedono lo svolgimento del maggior numero possibile di esercizi in grado, da un lato, di consolidare nozioni apprese a livello teorico e, dall'altro, di mostrare come la matematica finanziaria abbia continue implicazioni nella vita di tutti i giorni. L'eserciziario in questa nuova versione, rivisitato e ampliato, offre esercizi su tutti i principali temi di un corso di matematica finanziaria classica (nozioni elementari, regimi finanziari, tassi equivalenti/tassi medi, valore di un'operazione finanziaria, rendite, ammortamenti, criteri di scelta tra operazioni finanziarie) e le nozioni base della matematica attuariale. Con l'intento di guidare lo studente in un percorso di miglioramento dell'apprendimento, ogni capitolo si articola in tre sezioni: la prima contenente un richiamo alle "Nozioni teoriche", la seconda con "Esercizi risolti" e la terza con "Esercizi da risolvere".

Un'introduzione sistematica agli argomenti fondamentali della geometria, insegnamento di base del primo e secondo anno delle Facoltà di Ingegneria. Scopo didattico del manuale è da una parte insegnare le tecniche di base dell'algebra lineare (per esempio la risoluzione dei sistemi lineari e la diagonalizzazione di matrici), dall'altra applicare tali tecniche allo studio di problemi di varia natura, in particolare alla geometria analitica del piano e dello spazio, sviluppando in modo rigoroso l'intuizione geometrica tridimensionale. Tali conoscenze sono di fondamentale importanza per affrontare i successivi corsi di ingegneria. L'approccio alla materia è rigoroso, ma concreto, senza essere troppo assiomatico: lo studente attraverso diversi esempi numerici è condotto a enunciare teoremi generali che poi dovranno essere validati da una dimostrazione. Questa metodologia, basata sulla "sperimentazione" e frutto dell’esperienza di insegnamento ventennale maturata dall'autore, è peraltro tipica della ricerca scientifica, anche in campi non necessariamente applicativi. Il testo è integrato da ulteriori esercizi con soluzioni disponibili on line alla pagina web del volume ed è inoltre scaricabile in versione digitale.

Il volume raccoglie sei articoli di cui uno inedito: "Sul principio di Hankel nell'insieme dei numeri complessi" e altri cinque già pubblicati sul Periodico di Matematiche, organo della Mathesis, tra il 2004 e il 2009: "Una spirale logaritmica aurea" (2004), "La successione di Fibonacci, il numero aureo, la spirale logaritmica aurea" (2005), "Spirali logaritmiche tridimensionali" (2006), "Sulle serie armoniche generalizzate" (2008), "Sulle serie alternate" (2009).

Per la prima volta in traduzione italiana, l'opera di Pavel Florenskij che introdusse una nuova interpretazione geometrica dei numeri complessi. In questo saggio, l'autore si propone di descrivere in modo visivo le proprietà delle diverse equazioni risultanti dalle due variabili, che possono avere valori sia reali sia immaginari. Ai primi sette capitoli, cui Florenskij lavorò nel 1902, il filosofo e matematico aggiunse un ottavo nel 1921 e un nono nel 1922. Nel nono capitolo il concetto di "immaginari" viene inserito all'interno di una visione cosmologica che include un originale confronto tra i sistemi tolemaico e copernicano, la relatività speciale di Einstein e la "fisica" di Dante nella Divina Commedia. Un'opera in anticipo sulla sua epoca, considerata "eretica" dai commissari bolscevichi per il suo approccio rivoluzionario alla materia matematica.

Come poter rendere alcuni concetti matematici più fruibili agli studenti ancora impegnati negli ultimi anni di scuola superiore? Oppure, come offrire a un pubblico più vasto, che tali concetti ha incontrato tanti anni prima, magari solo nel loro aspetto puramente formale, una chiave interpretativa che possa farglieli riconsiderare sotto una prospettiva differente? La risposta è: “bisogna umanizzarli”, renderli concreti, il più possibile vicini a problemi della vita ordinaria, in cui ognuno possa riconoscersi. Su ogni argomento, uno per ogni mese dell’anno, si dipana una situazione metaforica da cui nasce la narrazione che spazia dal racconto breve alla sceneggiatura per un cortometraggio, dalla tragedia teatrale al monologo.

Ci hanno insegnato che le scorciatoie sono qualcosa di sospetto, se non addirittura sbagliato o pericoloso: un trucchetto sleale, che permette di evitare parte del percorso necessario a raggiungere un obiettivo. Soluzioni per scansafatiche sempre pronti a «barare», o deviazioni adatte solo ai meno cauti. In ogni caso, niente di più lontano dalla matematica, con i suoi calcoli precisi - e un po' tediosi - da svolgere un passo alla volta. O no? Be', uno studioso e divulgatore del calibro di Marcus du Sautoy non sembra affatto d'accordo. Anzi, secondo lui la matematica è il regno del pensiero strategico, quello che ci porta al risultato richiesto nel tempo più breve e con il minor dispendio di energie possibile. Imboccando, insomma la stessa via seguita da Madre Natura. E non è un caso se gran parte di ciò che chiamiamo «progresso» sia nato proprio dalla capacità di semplificare un certo compito. Dobbiamo tantissimo a quei «pigri» che hanno trovato la soluzione meno faticosa per affrontare grandi problemi: dalle tecniche per edificare le prime città, sorte oltre cinquemila anni fa lungo il Nilo e l'Eufrate, al calcolo infinitesimale applicato all'ingegneria rinascimentale, fino agli algoritmi informatici in grado di indicarci la strada giusta o aiutarci a trovare online la nostra anima gemella. E la matematica non è l'unica scienza che può insegnare l'arte delle scorciatoie. Ecco perché questo libro divertente, pieno di aneddoti sorprendenti e di stimolanti enigmi da risolvere, si avventura in molti altri campi del sapere: dal mondo delle start-up a quello della musica, dai viaggi alla psicologia. Mostrandoci come proprio l'abilità di trovare approcci innovativi differenzi l'uomo dal più efficiente dei computer, che può invece affidarsi alla sua enorme capacità di calcolo per compiere in un attimo la via più lunga. Con la sua indubbia competenza e il suo inconfondibile piglio ironico, du Sautoy ci insegna come funzionano le scorciatoie mentali e quali sono le strategie per risolvere con creatività i problemi che affrontiamo ogni giorno. Starà a noi, poi, farne buon uso.