Matematica

Oggi, in un mondo dominato da meme, fake news, tweet di 140 caratteri, dibattiti televisivi in cui si impone chi grida più forte, quale spazio resta per il ragionamento logico, la riflessione, la razionalità? La logica sembra ormai dominio esclusivo dei matematici, che la usano per esplorare una realtà astratta e inaccessibile ai più. Ma è davvero così? Davvero non ci si può affidare a questo strumento fondamentale dell'intelletto per navigare con sicurezza nel confuso mondo umano? In questo suo nuovo saggio Eugenia Cheng ci mostra che non è così, che la logica può essere la base per discutere in maniera costruttiva di questioni assolutamente reali e scottanti, come la discriminazione razziale, le molestie sessuali o l'assistenza sanitaria universale. Per farlo è necessario conoscere i rudimenti del ragionamento logico, ma non basta: la logica rigorosa stabilisce solo ciò che è vero e ciò che non lo è all'interno di un sistema fondato su un insieme di assiomi, distingue il bianco dal nero, non conosce quelle «zone grigie» che sono ovunque nella vita reale. Perché non sia divisiva, perché serva a conciliare concezioni diverse invece che a estremizzare le contrapposizioni, la logica va sposata a quella dimensione umana imprescindibile che è la sfera emotiva. Cheng ci spiega come il connubio tra logica ed emozioni possa renderci non semplicemente razionali (anche i computer lo sono), ma capaci di quella razionalità intelligente che è forse la caratteristica più nobile della nostra natura di uomini.

Intorno a noi, ogni cosa è in movimento: l'Universo in espansione fin dal remoto istante del Big Bang e le sfere celesti in fuga per le loro orbite ellittiche; gli oceani agitati dai venti e gli aerei nel loro frenetico andirivieni; la lava che cola lungo le pendici di un vulcano e il cuore che con il suo battito accompagna ogni istante della nostra vita. Eppure, la natura profonda del moto è da sempre inafferrabile. Duemilacinquecento anni fa, il crudele Zenone (così lo definì Paul Valéry) elaborò uno dei suoi celebri paradossi secondo cui, spezzettando il tempo e lo spazio infinite volte, Achille piè veloce non raggiungerebbe mai la lenta tartaruga. Il suo pensiero non cessa di porci domande dall'ardua risposta: il tempo e lo spazio sono continui, come li percepiamo intuitivamente? O sono il risultato di unità discrete, simili a un filo di perle, come li restituiscono gli strumenti di misurazione? Zenone, un po' come la tartaruga, era in anticipo sul suo tempo. Da allora, filosofi e scienziati si interrogano su spazio, tempo e movimento, fenomeni familiari e insieme sfuggenti. Da Galileo a Einstein, dalla fisica quantistica all'iperspazio, non si contano i tentativi di colmare il divario tra i modelli matematici e la tessitura della realtà. Col suo tocco nitido ed elegante, ricco di aneddoti, dimostrazioni scientifiche e suggestioni letterarie, Joseph Mazur traccia in questo volume una vera e propria storia del moto. Leggendolo ci imbattiamo in un Newton pensoso che, seduto all'ombra di un melo, comprende che i pianeti attraggono le mele quanto le mele attraggono i pianeti; viaggiamo alla velocità della luce nei meandri del calcolo infinitesimale, della teoria delle stringhe, del dualismo onda-particella. E scopriamo gli aspetti più misteriosi di un fenomeno che abita tanto i microspazi degli atomi quanto le ampie architetture del cosmo: il movimento.

Nel campo tecnico-scientifico molte decisioni sono supportate da misurazioni. Ma per poter decidere correttamente è importante assegnare ai risultati di misura il loro effettivo significato. Ciò è soprattutto importante, ed espressamente richiesto, quando si opera in Sistemi Qualità. In tal caso la gestione delle misure e prove deve essere rigorosa, e può trovare un concreto supporto negli argomenti qui trattati, per l'attenzione posta a curare insieme la correttezza sostanziale e l'eliminazione di vincoli inutili. Giulio Barbato, Alessandro Germak e Gianfranco Genta sono docenti di “Statistica sperimentale e Misure Meccaniche” ed “Experimental Statistics and Mechanical Measurement” presso il Politecnico di Torino.

"Gli argomenti presentati nel volume sono numerosi, interessanti e, talvolta, poco conosciuti. Nella descrizione dei temi esposti ho adottato un linguaggio accessibile, adatto agli studenti liceali e universitari, senza tuttavia trascurare il rigore scientifico, specialmente sotto il profilo fisico-matematico, come ero abituato durante il tempo del mio insegnamento nei licei, e senza rinunciare né al punto di vista storico né a quello moderno. Le materie proposte, ossia congetture (cap. I), paradossi (cap. II), matematica ricreativa (cap. III), giochi (cap. IV), enigmistica (cap. V), problemi vari (cap. VI), appartenenti tutte alla matematica, sono state distribuite in sei capitoli, con metodo e linguaggio propri di questa disciplina. Inoltre, il libro presenta, in Appendice, tre capitoli: Richiami di logica (cap. VII), Calcolo combinatorio (cap. VIII), Calcolo delle probabilità (cap. IX), ritenuti molto utili per risolvere i tanti quesiti esposti nei paragrafi precedenti. Il volume termina con l’aggiunta di diverse Letture di carattere culturale (cap. X), anche a complemento dei temi sviluppati, che ne accrescono notevolmente il contenuto." (L'autore)

L'opera è frutto dell'esperienza pedagogica nell'ambito dell'analisi matematica presso il Politecnico di Torino, L'université Pierre et Marie Curie e presso L'ECAM-EPMI e principalmente destinato agli studenti delle Grandes Écoles ma anche per gli studenti del primo livello all'università e delle classi preparatorie. Gli argomenti trattati sono: i numeri reali, le equazioni e disequazioni (algebriche, irrazionali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche), i numeri complessi, le funzioni reali a una variabile reale (funzioni elementari, funzioni composte, funzioni inverse e funzioni iperboliche). Gli argomenti sono presentati in modo approfondito; esempi, pagine di esercizi, controlli continui e parziali permetteranno di acquisire progressivamente tutti gli argomenti.

Con il presente volume si completa il ciclo di lezioni di Edoardo Sernesi, una compiuta rassegna dei principali temi geometrici tradizionalmente svolti nel biennio propedeutico del corso di laurea in Matematica, la cui prima parte, Geometria 1, ha già riscosso ampio favore, da parte di professori e studenti, per la chiara e organica presentazione della materia. Un taglio didattico, testimoniato dalla presenza di numerosi esercizi (in buona parte svolti) ed esempi, caratterizza anche questa Geometria 2. Mentre nel primo volume il tema dominante è l'algebra lineare, in questo l'accento è posto sull'aspetto topologico-differenziale della geometria nelle sue varie forme. Una prima parte tratta della topologia generale, argomento troppo spesso sacrificato nei corsi istituzionali, alla quale per il suo valore formativo sono stati dedicati tre interi capitoli. Segue l'illustrazione della teoria del gruppo fondamentale e dei rivestimenti, primo approccio alla topologia algebrica (un tema che frequentemente trova posto nei corsi avanzati di geometria). Il resto del volume si occupa dei fondamenti della topologia differenziale: studio delle varietà differenziabili e delle loro principali proprietà, geometria differenziale classica di curve e superfici, teoria dell'integrazione sulle varietà differenziabili (trattata più spesso nei testi di analisi matematica, ma con un'impostazione inadatta alle applicazioni geometriche).

Orientarsi nello spazio, percepire un oggetto attraverso la sua forma, minimizzare gli spostamenti: sono abilità geometriche che tutti usiamo nel quotidiano. Platone faceva entrare nell'Accademia solo chi aveva dimestichezza con la geometria, una scienza che richiama questioni filosofiche ma che dà anche concreta risposta a tanti quesiti tecnologici. Dalla linea retta agli spazi che si curvano, i teoremi della geometria ci aiutano da sempre a rendere facile il difficile. Ma in che modo la mente umana esplora la forma delle cose? Un viaggio che da Euclide e dalla geometria elementare giunge a Bernhard Riemann e alle teorie contemporanee, che forniscono alla fisica gli strumenti per capire l'universo e tentare di formulare una «Teoria del Tutto».

La nozione di rappresentazione esprime una categoria generale a cui appartengono numeri, stringhe, alberi, grafi, e più in generale, tutte le strutture simboliche con cui si rappresentano i dati. I linguaggi, in senso lato, sono formalismi entro cui si rappresentano oggetti, concetti, proprietà e relazioni. I linguaggi formali, definiti in termini insiemistici, sono quelli entro cui si definiscono i processi di calcolo universali, in grado di esprimere tutti i tipi di calcoli realizzabili. In questo libro, l'impostazione degli argomenti, la loro presentazione, e le prospettive di analisi dei vari argomenti, sono per molti aspetti frutto di elaborazione originale, maturata nel corso della didattica e della ricerca svolta negli ultimi 15 anni presso l'Università di Verona.

Mediante una scelta mirata degli sviluppi di base della logica matematica, il volume mette in luce il ruolo del linguaggio, in particolare di quello formale, per studiarne limiti e potenzialità nel rappresentare messaggi intesi. Ci si limita alla logica cosiddetta classica, considerata come base comune imprescindibile di ulteriori sviluppi delle logiche che richiedono assunzioni non precisabili con il linguaggio. L'esposizione scelta ne fa un bagaglio essenziale per discussioni filosofiche e per insegnare matematica.

Il volume "Esercizi di matematica generale. Calcolo Integrale. Successioni e serie" offre ai lettori la possibilità di svolgere esercizi di matematica generale per i seguenti argomenti: algebra lineare, funzioni, limiti, continuità, calcolo differenziale in R. Studio di funzione, calcolo integrale, ottimizzazione in R2, calcolo integrale, successioni e serie.

La matematica è materia viva, affascinante e appassionante. Che la matematica serva si sa. Che sia appassionante si sa un po' meno, forse perché per la maggior parte di noi è rimasta confinata nei conti quotidiani o negli incubi di scuola. Eppure basta prenderla per il verso giusto, come fa François Sauvageot, perché diventi appassionante. Perché niente come la matematica coniuga il rigore con la fantasia, la praticità più minuta con l'astrazione più ardita. La matematica è un linguaggio che dà ordine al nostro mondo e che crea mondi nuovi, o meglio, scopre mondi nuovi con insospettabili applicazioni alla realtà più concreta, come nel caso dell'algebra dei numeri complessi e della sua applicazione nel calcolo dei materiali edili. O che diventa uno strumento di analisi sociale, contribuendo ai processi decisionali in economia e in politica. Con poche formule, tanti casi concreti e qualche biografia eccellente, Sauvageot (ri)avvicina i lettori a una materia affascinante.