Matematica

Questo volume è rivolto agli studenti di ingegneri della Grandes Ecoles ma anche a studenti di matematica, fisica e informatica.

Questo testo nasce con l'obiettivo di aiutare lo studente nella transizione fra i concetti teorici e metodologici dell'inferenza statistica e la loro implementazione al computer. La prima parte del testo è infatti focalizzata principalmente su esercizi da risolvere con carta e penna, in modo da far applicare nozioni derivanti da lemmi e teoremi; mentre la seconda parte del testo è costituita da laboratori, in cui si propone sia l'implementazione manuale di algoritmi, sia l'apprendimento di built-in tools per un'analisi efficiente di dataset derivanti da problemi reali. Per ottimizzare la fruizione degli argomenti sviluppati, e per accompagnare il lettore nello studio, il testo è organizzato in capitoli, ciascuno dei quali composto, a sua volta, da una prima parte introduttiva, in cui vengono richiamate le basi teoriche dell'inferenza statistica, e da una seconda parte di esercizi, corredati di un esaustivo svolgimento su carta e, se opportuno, su software. Il testo è rivolto agli studenti dei corsi di laurea di primo livello di statistica, matematica, ingegneria e per i corsi di secondo livello in Data Science.

Destinato agli studenti di grandes ècoles e studenti con licenza I. Gli argomenti trattati sono: calcolo a matrice e sistemi lineari (capitolo 1); spazi vettoriali, famiglie generatrici, famiglie libere, basi e coordinate (capitolo 2); applicazioni lineari (immagine e kernel), autovalori e autovettori di un endomorfismo (capitolo 3); prodotti scalari, spazi euclidei, basi ortogonali, basi ortonormali, teorema spettrale (capitolo 4); sistemi differenziali lineari (capitolo 5). Gli argomenti sono presentati in modo approfondito; esempi, pagine di esercizi, controllo continuo e parziale consentiranno di acquisire progressivamente tutti gli elementi.

La matematica insegnata nella scuola si presenta come un argomento chiuso e concluso; un sapere fatto di regole e tecniche, sospeso nel cielo delle cose immutabili, come le sfere celesti della cosmogonia antica. La matematica invece si rinnova e arricchisce continuamente, con l'obiettivo di conoscere la realtà via via più nascosta o sfuggente, da quella astronomica a quella in cui siamo immersi, fisica, fluida, in movimento, con i fenomeni casuali delle molteplicità aggregate e delle popolazioni, ora addirittura allo strumento stesso della conoscenza, l'intelligenza. Mai la matematica si è accontentata di misurare la realtà che appare, ma si è proposta di andare oltre le apparenze, per conoscere le cause. Questa infatti, sosteneva Aristotele, è la funzione della dimostrazione. Penetrare la realtà nascosta dalle apparenze richiede la formazione di rappresentazioni nella mente, modelli artificiali ma accurati di un mondo immaginato, che possiamo chiamare astratto: pensare in astratto. A lungo in parallelo la filosofia si dedicata agli stessi argomenti, e in più a quello della natura della matematica stessa, come evocano, tra i tanti, i nomi di Pitagora, Platone, Aristotele, Descartes, Pascal, Leibniz, Condorcet, Hume, Kant, Comte, Husserl, Russell, Wittgenstein. Conoscere i momenti di rinnovamento, quando un nuovo campo di ricerca ha comportato una riorganizzazione del sapere, significa anche esserne consapevoli nell'insegnamento, sapere quali caratteristiche sono obsolete, quali da trattare come routine, quali degne di un maggior investimento di attenzione.

L’essere unico ed irripetibile, cosa comprende del mondo che l’attornia? Gli interrogativi più frequenti li rivolge alle scienze esatte. Principalmente alla “matematica” che, indiscussa, gli arreca il disorientamento. È rea la matematica? Ci mancherebbe altro! Il danno viene perpetuato dalla didattica che, di detta scienza, macina regole e convenzioni con pseudoastrazioni depistanti per rapprendere razionale. Certo, l’individuo è limitato dinanzi allo scibile del sapere... anche in quello settoriale! Ma il ribadito è rivolto ai contenuti di base... quelli elementari in sostanza! Ed è proprio dall’analisi di base che l’autore intende ripartire. Ripartire con spirito di ricerca, i cui interrogativi risultano essere promotori, propellenti e propulsori, lungo il cammino dell’apprendere.

Bollettino di Matematica pura e applicata. Volume X.

Ogni disciplina scientifica si definisce pienamente nel momento in cui viene delimitata da una teoria in grado di evidenziarne i limiti e le potenzialità. Per l'informatica ciò avvenne negli anni trenta del XX secolo, in un effervescente panorama culturale e scientifico che affrontava i fondamenti della matematica, della fisica e della biologia, ben prima dell'avvento del calcolatore elettronico. Cosa significa «calcolare»? Cos'è un algoritmo? Cosa possiamo e cosa non possiamo calcolare? Ci sono dei limiti? Esiste un calcolatore universale? Cos'è un programma? Il programma che ho comperato funzionerà sempre o potrebbe entrare in loop su certi dati? Cos'è un linguaggio? Come si genera? Come si riconosce? Tra le cose che possiamo calcolare, quanti passi di calcolo dovremo ragionevolmente attendere per avere il risultato? Si può fare di meglio di quell'algoritmo per risolvere quel problema? Tutte queste domande hanno condotto alla teoria della calcolabilità effettiva, alla teoria dei linguaggi formali, e più tardi alla teoria della complessità computazionale, che include uno dei più importanti problemi ancora aperti per la scienza contemporanea. Questo volume illustra come sono state affrontate tali questioni. Nasce dall'esperienza ventennale degli autori nell'insegnamento del corso di Fondamenti dell'informatica, dapprima assieme, presso l'Università di Verona, poi separatamente nelle sedi di Verona e di Udine. Nato come dispensa già nel 1999, il volume è via via maturato negli anni, includendo note storiche, esempi e un gran numero di esercizi, molti dei quali assegnati come prova scritta d'esame.

Incendi causati dalle pareti a specchio dei grattacieli, impianti radar in tilt, edifici che tremano perché al dodicesimo piano qualcuno fa esercizio sulle note di The Power, ponti che oscillano più del dovuto, sistemi informatici destinati a fermarsi il 19 gennaio 2038, atleti di tiro a segno che non si presentano alle Olimpiadi, jet militari offerti in regalo a un trentesimo del loro valore con i punti della Pepsi. Cosa può causare tutto ciò, scatenando disastri o andandoci quantomeno molto vicino? Semplice: degli errori matematici. Anche se per natura abbiamo una certa comprensione della matematica basilare, ci riscopriamo parecchio stupidi quando si tratta di quella formale, sviluppata a partire dalle nostre conoscenze intuitive. Non veniamo al mondo con la capacità innata di gestire frazioni, numeri negativi o logaritmi; a scuola impariamo - lentamente e a fatica - a superare questi limiti, ma appena smettiamo di usare certi concetti il nostro cervello torna alle «impostazioni di fabbrica». Il problema è che il mondo moderno è interamente costruito sulla matematica: ingegneria, informatica, finanza, medicina le nostre esistenze scorrono immerse nei numeri e nelle loro applicazioni. Di solito non ce ne accorgiamo, perché tutto fila alla perfezione e la matematica fa egregiamente il suo lavoro dietro le quinte della nostra quotidianità. Talvolta, però, un intoppo più o meno grave ci ricorda che le nostre vite possono cambiare in modo drastico per un banale errore di calcolo. Spaziando dagli antichi egizi a Bill Gates, dalla birra agli iPhone, Matt Parker ci mostra come sviste in apparenza innocue possono avere effetti bizzarri o catastrofici. Tra sfide logiche, battute sul codice binario e storie dall'indiscutibile fascino, l'autore ci insegna a imparare dalle insidie della matematica, per ricordarci sempre di che potente alleato essa sia.

Prendendo spunto dal teorema di Rolle, di cui viene offerta un'analisi storica ed epistemologica, questo lavoro esamina l'emergere di nuove prospettive didattiche. Imparare la matematica significa infatti anche imparare ad usarne lo specifico linguaggio, il suo tipico discorso che costruisce dal proprio interno i suoi oggetti. Il potenziamento delle capacità metalinguistiche degli studenti e l'acquisizione di una maggiore flessibilità tra diversi registri potrebbero in futuro rappresentare una significativa opportunità per ridefinire i processi stessi di insegnamento-apprendimento.

L'obiettivo minimo del presente testo è quello di fungere da supporto alle lezioni in aula di un primo corso di algebra lineare e geometria. È pensato, essenzialmente ma non solo, per gli studenti che frequentano e frequenteranno le lezioni del primo anno di ingegneria, specialmente, per quelli iscritti al Politecnico di Torino, in particolare, ma non solo, per quelli che seguono e seguiranno i corsi dell'autore, per i quali il libro è stato specialmente pensato e scritto.

Il testo evidenzia un percorso che mostra come la Statistica contribuisca in misura sostanziale alla conoscenza umana fondata sulle evidenze empiriche per le quali è necessario costruire modelli, sempre perfettibili perché falsificabili da nuovi dati. Riducendo al minimo le complicazioni formali, senza rinunciare al rigore del ragionamento statistico, il testo presenta e sviluppa numerosissimi esempi, quasi tutti su dati reali e sempre replicabili (grazie all’Ambiente R, disponibile online per i lettori assieme a un’introduzione dettagliata e sistematica per tale software statistico). Questa nuova edizione, completamente riscritta sia nella prospettiva che nei contenuti, è finalizzata ad un corso di Statistica per tutti i percorsi universitari di primo e secondo livello e si arricchisce di tematiche che vengono sempre più richieste nella professione e nella ricerca: analisi della varianza, test ripetuti, curve ROC, modelli di regressione multipla, modelli con variabili qualitative, regressione logistica.

"Nelle voci scritte per l'"Enciclopedia", e poi parzialmente rifuse nel volume del 1938 Le matematiche nella storia e nella cultura, Enriques fece filtrare molti dei temi della battaglia teorica e pratica dei primi due decenni del secolo. Trovarono così un loro posto nell'"Enciclopedia": la valenza conoscitiva, irriducibile al solo piano delle applicazioni operative, del sapere matematico (voce "Matematica", 1934); l'intreccio tra matematica e filosofia nelle grandi voci della storia del pensiero, dai pitagorici a Platone, da René Descartes a Gottfried W. von Leibniz, da Immanuel Kant ad Albert Einstein ("Parmenide e la geometria", 1931); i temi della definizione e dell'infinito, discusso quest'ultimo anche attraverso un'analisi del ruolo storico del copernicanesimo, e della filosofia di Bruno, destinata più tardi a conoscere grande notorietà attraverso l'opera di Alexandre Koyré ("Definizione", 1931; "Infinito", 1933); la logica delle procedure scientifiche ("Analisi", 1929; "Dimensioni", 1931); la tradizione scientifica italiana, dai matematici medievali agli algebristi del Rinascimento, dalla scuola galileiana ai recenti studi di geometria (ancora "Matematica"); il dibattito contemporaneo, dalle geometrie non euclidee alle dinamiche postnewtoniane ("Geometria", 1932; "Incommensurabile", 1933; "Meccanicismo", 1934)." (Ornella Pompeo Faracovi)