Matematica

Rivolto agli studenti del primo anno di ingegneria, questo testo approfondisce lo studio di funzioni, argomento trattatto nel corso di Analisi I. Scegliendo dai temi d'esame di funzioni di studio particolarmente impegnativo si mostra che la loro equazione rappresenta spesso il risultato di una catena di operatori applicati a una funzione di partenza molto più semplice, potendo, pertanto, ottenere il grafico finale mediante la conoscenza e tramite l'applicazione delle proprietà di tali operatori.

Il libro è rivolto a studenti universitari che dovranno sostenere un esame di Matematica. In particolare, può essere utilizzato per un precorso di Matematica, per incontri di tutorato e per attività di potenziamento per studenti di scuola secondaria superiore. Contiene teoria ed esercizi svolti, ed è costituito dai seguenti capitoli: logica, insiemi, numeri, algebra, equazioni e disequazioni algebriche, geometria analitica, funzioni, funzioni lineari, modulo radici, funzioni potenza, funzioni esponenziale e logaritmica, funzioni goniometriche, funzioni reali di variabile reale, probabilità e statistica introduzione alle dimostrazioni. Il testo è arricchito da links che rimandano, nei punti opportuni, ai video del corso online di Introduzione alla Matematica per l'Università sviluppato al Politecnico di Milano e disponibile gratuitamente su www.pok.polimi.it.

La vita è una lotteria. L'incertezza genera dubbi e il dubbio ci fa sentire a disagio; quindi ci piacerebbe ridurre, o meglio ancora eliminare, l'incertezza. Ma l'incertezza è ovunque, fa capolino in qualsiasi considerazione legata all'avvenire, si tratti del tempo, dell'economia o del sesso di un nascituro. Persino quelle quantità che crediamo di conoscere, come il numero di abitanti di un paese o le traiettorie dei moti dei pianeti, contengono delle possibilità di errore. Non stupisce perciò che l'uomo abbia da sempre cercato di definire, comprendere e limitare l'incertezza. Nel corso dei secoli, mossi da curiosità o competizione, pionieristici matematici e scienziati hanno via via ridotto le selvagge zone di incertezza per addomesticare le probabilità e le statistiche. Eppure, anche se da sconosciuta l'incognita è diventata conosciuta, il nostro pessimismo ci fa poi concludere che alcuni quesiti sono comunque irrisolvibili, e che le nostre intuizioni ci hanno ingannato. O peggio ancora: quando comprendiamo quanto l'incertezza sia onnipresente e mutevole, ci scontriamo con il caos, la meccanica quantistica e i limiti delle nostre capacità predittive. L'incertezza non è sempre un male. Ci piacciono le sorprese, purché siano piacevoli. A molti diverte puntare qualche soldo sulle corse di cavalli e la maggior parte degli sport non avrebbe senso se sapessimo all'inizio chi vincerà. Alcuni futuri genitori ci tengono a non sapere il sesso del nascituro. La maggior parte di noi, sospetto, non vorrebbe conoscere in anticipo la data della propria morte, e tanto meno come si verificherà. Ma queste sono eccezioni. La vita è una lotteria. L'incertezza genera spesso dubbi e il dubbio ci fa sentire a disagio; quindi vogliamo ridurre, o meglio ancora eliminare, l'incertezza. Ci preoccupiamo di che cosa succederà. Teniamo d'occhio le previsioni del tempo, pur sapendo che il tempo è notoriamente imprevedibile e che le previsioni sono spesso sbagliate. […] Le faccende umane sono sempre state caotiche, ma anche in ambito scientifico la vecchia idea di una natura che obbedisce a leggi esatte ha lasciato il posto a una visione più flessibile. Possiamo trovare regole e modelli che sono approssimativamente veri […] ma sono pur sempre provvisori, destinati a modifiche se e quando arrivano nuovi dati. La teoria del caos ci dice che perfino quando qualcosa obbedisce effettivamente a regole rigide, può lo stesso essere imprevedibile. La meccanica quantistica ci dice che, arrivando alle scale minime, l'universo è intrinsecamente imprevedibile. L'incertezza non è solo un segno di ignoranza umana; è ciò di cui è fatto il mondo.

I numeri sono dappertutto: dai computer ai concessionari di auto, ai fogli di calcolo per viaggi spaziali. È innegabile, i numeri sono ormai la struttura portante della società, accettati e usati senza neanche pensare: ma come si è arrivati sin qui? Leo Corry racconta la storia che sta dietro l'idea di "numero", dai tempi di Pitagora fino al XXI secolo. In un'agevole e dettagliata carrellata l'autore ripercorre la storia dei numeri dall'antica Grecia, all'Islam, ai matematici europei del Medioevo e del Rinascimento, durante la rivoluzione scientifica, fino agli inizi del XX secolo e all'inaugurazione della moderna idea di numero. Con un'attenzione rivolta ai dibattiti sui fondamenti ma anche all'uso pratico, Corry mostra come la storia dei numeri sia intimamente connessa a quella di equazione, offrendo un'autorevole introduzione utile a studenti universitari, docenti, ingegneri, matematici di professione, nonché a chiunque sia interessato alla storia della matematica.

Vi siete mai chiesti come calcolare l'esatta probabilità matematica della morte di uno dei personaggi di 'Il Trono di spade'? Come è possibile che un un drago, una creatura gigantesca e pesante, riesca a volare? A quali forza è stata sottoposta la spina dorsale di Gwen Stacy (la fidanzata dell'Uomo Ragno) quando il suo fidanzato-supereroe la salvò da una drammatica caduta dal ponte? Oppure quanto bisogna spendere al supermercato per riuscire a completare la collezione dei Rollinz? Molti di noi non saprebbero rispondere a queste domande, ma non i matematici nerd, che hanno pronta un'equazione per qualsiasi quesito impossibile. Questo saggio vuole essere uno stimolo innovativo per affrontare la matematica con l'aiuto del nostro immaginario popolare.

Per Imre Toth scienza ed esistenza trovano fondamento in uno stesso principio dialettico: il daimòn, la scelta. Non esiste vita, pensiero critico, espressione artistica o scientifica senza una scelta. E ogni scelta è sostanzialmente legata al tempo passato e alle emozioni vissute. Siamo grani di tempo impastati di logica e sentimento, storia e memoria. La matematica per lo storico della scienza e filosofo ungherese è un avvenimento dello spirito, una delle molteplici espressioni della libertà individuale. L'espressione più alta di quel mistero che è la presenza del soggetto umano nell'universo: l'unico essere vivente capace di dire «no». In questa avventurosa ricostruzione degli eventi che hanno condotto l'autore dalla Resistenza durante il Nazismo, alla critica del Comunismo ungherese - che gli costò l'espulsione dal partito in quanto idealista - la matematica si trasforma in un momento di intensa spiritualità.

Il libro si rivolge agli studenti del primo anno del corso di laurea in Ingegneria che devono superare l'esame di Analisi I ed è diviso in due sezioni. La prima parte descrive come si possono rappresentare i grafici di funzioni composte studiando solamente le proprietà delle funzioni componenti, facendo riferimento ad esempi proposti nei temi d'esame. Nella seconda sezione è riportato lo studio dell'andamento qualitativo di una primitiva a partire dal grafico o equazione della funzione, evitando il calcolo diretto dell'integrale. Anche in questa seconda parte gli esercizi svolti sono presi da temi d'esame.

Il presente volume di esercizi svolti è rivolto a studenti universitari, di vari corsi di studio, che affrontano esami di matematica. E' suddiviso nei capitoli seguenti: 1. Serie Numeriche ed Integrali Impropri; 2. Successioni e Serie di Funzioni; 3. Algebra Lineare; 4. Equazioni Differenziali Ordinarie; 5. Geometria Analitica nello Spazio; 6. Curve; 7. Funzioni di Più Variabili; 8. Massimi e Minimi; 9. Integrali Multipli; 10. Campi Vettoriali; 11. Superfici e Integrali Superficiali.

Il presente volume di esercizi svolti è rivolto a studenti universitari, di vari corsi di studio, che affrontano esami di matematica. E' suddiviso nei capitoli seguenti: 1. Numeri Reali e Funzioni; 2. Numeri Complessi; 3. Successioni e Serie; 4. Limiti di Funzioni; 5. Continuità, Derivabilità e Applicazioni; 6. Studi di Funzione; 7. Integrali; 8. Geometria Analitica nello Spazio; 9. Curve; 10. Algebra Lineare; 11. Equazioni Differenziali Ordinarie; 12. Successioni e Serie di Funzioni; 13. Funzioni di Più Variabili; 14. Massimi e Minimi; 15. Integrali Multipli; 16. Campi Vettoriali; 17. Superfici e Integrali Superficiali.

Il volume presenta le diverse tipologie di quesiti di logica matematica utilizzate nei concorsi pubblici nazionali e dell’Unione europea, nelle selezioni aziendali, nelle prove di accesso ai master e alle università. Ne illustra le caratteristiche e le strategie di risoluzione. Contiene centinaia di esercizi risolti e commentati, per guidare la preparazione del candidato. Per un ulteriore esercizio, il lettore può infine svolgere in autonomia altre batterie di quesiti, di cui è indicata la soluzione senza commento. In particolare, il testo propone teoria ed esercizi relativi a: serie numeriche; serie di lettere; problemi di calcolo; esercizi con percentuali e frazioni; ragionamento logico matematico; esercizi sulle probabilità; problemi di lavoro. Il volume è completato da un capitolo di esercizi di logica matematica in lingua inglese.

Godfrey H. Hardy scrisse questa apologia nel 1940, quando era ormai al termine della sua carriera. L’intento che lo animava non era né didascalico né accademico. Voleva piuttosto tessere un elogio e una difesa della sua disciplina, ragionando in particolare sulla sua utilità e la sua bellezza. Se la prima è la naturale finalità della matematica applicata, la seconda è la qualità intrinseca di quella che Hardy definisce «vera matematica», quella pura, scevra di ricadute immediate sulla nostra vita quotidiana. Benché apparentemente più astratta, essa è capace di affascinarci come la grande musica o la poesia. Per Hardy la matematica è sinonimo di creatività: alcuni teoremi sono opere d’arte, in grado di sopravvivere per millenni, e l’autore ce ne offre illuminanti esempi. In questo senso, l’Apologia si spinge oltre i tradizionali confini della scienza, spaziando dagli scacchi al cricket e alla filosofia, tanto che uno scrittore come Graham Greene arriverà a definirla una «delle migliori rappresentazioni di cosa significhi essere un artista creativo». Prefazione di Marco Malvaldi.

I "Manoscritti matematici" di Karl Marx, oltre che per il contributo scientifico allo studio del calcolo differenziale tale da inserirsi nella revisione critica che va da Lagrange a Cauchy e Weierstrass, hanno importanti implicazioni per quanto concerne la problematica della dialettica e la critica dell’economia politica. Il "mistero" delle entità infinitesimali del calcolo differenziale, come il "mistero della merce", può sciogliersi solo risalendo alle operazioni umane sottostanti, esaminando, in questo caso, la forma che, di volta in volta, il calcolo differenziale assume attraverso i processi delle sue operazioni algebriche. Esattamente come nel caso dell’enigma della merce. È già questo un importante punto di congiunzione, in Marx, tra critica del calcolo differenziale e critica dell’economia politica.