Matematica

Studiare matematica, a qualunque livello lo si faccia, non significa fare esercizi Studiare matematica infatti significa seguire un filo di pensieri, un sentiero di idee che si concatenano una all'altra. Insomma, significa studiare la teoria e saperne ricostruire gli snodi cruciali. Allora, perché un eserciziario? Perché, come per ogni sentiero, è importante avere segnali che ci dicano se siamo oppure no sulla strada giusta. Ecco, in matematica, gli esercizi sono questo: segnali. Sono cioè il segnale che ci permette di capire se la teoria è stata compresa correttamente; sono una verifica indispensabile dello studio teorico compiuto e, allo stesso tempo, una misura dei propri progressi. Oggigiorno, grazie alle numerose risorse disponibili online, non sussiste il problema di reperire esercizi di ogni genere e natura; si pone, al contrario, il problema di filtrare e selezionare, tra quello disponibile, il materiale più idoneo. Spesso lo studente non è in grado di affrontare da solo questa scelta e, di fronte all'abbondanza delle possibilità che gli vengono offerte, rischia di esercitarsi in modo dispersivo e inefficace. Soprattutto rischia di svolgere un gran numero di esercizi senza assimilare appieno la teoria. Il presente volume vuole quindi essere uno strumento che accompagna lo studente nella sua preparazione proponendo esercizi svolti, da svolgere ed esercizi interattivi, stimolandolo però sempre ad un preliminare confronto con gli aspetti teorici. Gli autori hanno una lunga esperienza didattica in corsi universitari e si sono sempre dedicati con entusiasmo all'insegnamento; siamo quindi certi il presente eserciziario sarà un valido aiuto nella preparazione di molti studenti. L'eserciziario può ovviamente essere utilizzato in modo autonomo, ma si può considerare il naturale completamento del testo "Note di Matematica" e la prosecuzione del testo "Note di Matematica: Nozioni preliminari".

Questo testo è rivolto agli studenti che si iscrivono all'Università e affrontano il primo corso di Matematica. Il libro nasce dall'esperienza maturata negli anni di insegnamento nei corsi universitari di Esercitazioni di Matematica, quale supporto per la risoluzione di esercizi applicativi, di approfondimento e complemento delle lezioni di teoria vere e proprie. Consapevoli delle principali difficoltà incontrate dagli studenti, abbiamo pensato di fornire un compendio utile al fine di costruire e consolidare le competenze necessarie e conquistare quel grado di sicurezza essenziale per affrontare serenamente le prove d'esame previste dai corsi universitari di Matematica. Nel testo vengono sviluppati gli argomenti fondamentali proposti in molti dei corsi universitari che prevedono un primo insegnamento di Matematica: funzioni, limiti, continuità, derivate e derivabilità, studio generale di funzioni, integrali, algebra lineare, vettori e matrici, sistemi lineari, funzioni a più variabili e ottimizzazione vincolata. Il focus del testo sono gli esercizi, svolti in modo dettagliato e con chiarimenti sulle strategie risolutive adottate, affrontati con difficoltà progressiva in modo da esplicitare le applicazioni della teoria e privilegiando il metodo induttivo. I richiami di teoria sono sintetici, schematici e finalizzati alla risoluzione degli esercizi stessi. Per ogni argomento sono inseriti vari temi d'esame, assegnati nelle prove degli anni accademici precedenti, svolti integralmente. Per incentivare il lavoro personale ed autonomo, viene poi lasciato ampio spazio alla verifica delle conoscenze e delle competenze acquisite, con set di esercizi da svolgere (con soluzioni nelle estensioni online del testo), test d'uscita di ogni capitolo, video tutorial sugli argomenti più importanti.

Dedicato agli studenti che devono prepararsi alla prova di esame di Statistica nei corsi di laurea in Economia e, più in generale, di Scienze, questo volume tiene conto delle difficoltà che più frequentemente si incontrano. Partendo dalle applicazioni che riguardano il calcolo delle probabilità, i sei capitoli del volume trattano gli esercizi che riguardano lo studio elementare delle variabili casuali e delle loro leggi, le analisi delle distribuzioni congiunte, quelle delle funzioni di variabili casuali e gli stimatori dei parametri delle distribuzioni di probabilità.

Una società senza amore per la matematica è simile a una città senza concerti, parchi o musei. Il volume parte da questo profondo convincimento e ci accompagna in un viaggio attraverso le aspirazioni umane che sono alla radice della matematica come parte della cultura. Il lettore – anche e particolarmente chi ha avuto esperienze negative a scuola o associa la matematica a freddi e noiosi calcoli – è portato così a comprendere in prima persona come ogni essere umano possa vivere a modo suo momenti di esperienza matematica. A questo scopo l'autore o re un cambio di prospettiva: la matematica di sicuro “serve”, ed è nata anche dalle azioni concrete degli esseri umani, eppure essa è intimamente legata alla ricerca della bellezza e della verità, alla curiosità, all'impegno e al coraggio, allo spirito giocoso e all'immaginazione. Per questo motivo, essa è da sempre uno spazio per il fiorire dell'essere umano, per il “vivere bene”, e l'obiettivo dovrebbe essere non avvilirla asservendone lo studio a scopi lucrativi e pratici.

Questo volume presenta gli argomenti oggetto di un primo corso universitario dedicato alla Matematica Finanziaria. Nel primo Capitolo vengono illustrate le nozioni di base del calcolo finanziario (capitalizzazione e attualizzazione, regimi finanziari usuali, rendite), mentre nel secondo è introdotto l’argomento delle scelte finanziarie (con le nozioni di Discounted Cash-Flow, Valore Attuale Netto e Tasso Interno di Rendimento, oltre a quelle di TAE e TAEG). Il terzo Capitolo prende in esame una serie di applicazioni (ammortamenti, leasing e vendita rateale, titoli senza cedole e con cedole), e il Capitolo conclusivo è dedicato alla struttura a termine dei tassi di interesse e alla duration, con approfondimenti utili anche al di là di un corso base. In ogni Capitolo gli argomenti vengono presentati innanzitutto a livello teorico, e sono poi illustrati attraverso una ricca serie di esempi, risolti in modo dettagliato, infine sono proposti numerosi esercizi da svolgere, dei quali è riportata la soluzione.

Questo volume completa l'opera AM1 - Analisi Matematica 1, con numerosi esercizi, in parte tratti dai temi d'esame assegnati negli anni agli studenti dei Corsi di Laurea in Chimica, Fisica, Ingegneria, Matematica e Scienza dei Materiali delle Università degli studi di Bergamo e Parma. Ogni capitolo del libro di esercizi si apre con un richiamo al relativo capitolo del libro di teoria, di cui si consiglia la piena comprensione. Ciascun capitolo è a sua volta diviso in sezioni, seguendo l'ordine di presentazione degli argomenti sul libro di teoria. Tutti gli esercizi proposti nel libro sono risolti, ma solo una parte delle soluzioni si trova all'interno del volume. Gli svolgimenti mancanti si possono trovare sulla piattaforma digitale che accompagna il volume. La risoluzioni proposte descrivono in modo chiaro e dettagliato i passaggi matematici necessari allo svolgimento dei quesiti assegnati. Inoltre, la varietà degli esercizi presenti nel testo permette allo studente di confrontarsi con diversi modi di ragionare e di affrontare i problemi.

Scritto con uno stile colloquiale e brillante, questo volume non è una storia tecnica della matematica. L’intento dell’autore è quello di ricondurre alla matematica – tra le manifestazioni più tipiche e tra gli strumenti più preziosi della civiltà umana – quei lettori che ne sono stati allontanati da un insegnamento scolastico arido e tedioso, codificato in formule fossilizzate e ormai prive di vita. Percorrendo l’intera storia della civiltà occidentale, Kline sceglie alcuni temi significativi per mettere in luce i legami tra matematica e forze sociali, politiche, artistiche, culturali, religiose, etiche, economiche. La matematica e i suoi problemi – dalla concezione di un ordine ideale dell’universo, propria della tradizione platonico-pitagorica, all’attuale visione di un universo “disordinato”, cui le scienze statistiche impongono un ordine di tipo laico – sono illuminati dal loro interno, nelle loro motivazioni, nel loro divenire, e si ritrasformano prodigiosamente in quell’organismo vivo di cui spesso gli studenti non riescono a ricostruire il funzionamento.

La topologia è quell'area della matematica che studia le proprietà degli oggetti geometrici che sono preservate in caso di deformazioni continue, ovverosia intuitivamente deformazioni ottenute senza “tagliare” o “incollare”. È un campo importante  della matematica moderna, intimamente legato all'analisi matematica, e con applicazioni in quasi ogni altro ramo della matematica. Questo testo è pensato come manuale compatto di topologia, scritto in modo da essere accessibile anche a studenti di corsi di laurea diversi da quello in matematica, come ad esempio fisica o ingegneria. La prima parte è dedicata alle nozioni di base di topologia generale, per finire con alcuni cenni sul gruppo fondamentale di uno spazio topologico. Nella seconda parte discutiamo le proprietà di topologie indotte da una (pseudo-)metrica. Questa parte include alcuni teoremi molto importanti in analisi, come ad esempio il teorema di Stone e i teoremi di Borel-Lebesgue e di Heine-Borel. L'ultima parte è dedicata alle topologie indotte da relazioni d'ordine (o più in generale da preordini): si tratta degli spazi detti di Alexandroff, che includono tutti gli spazi topologici finiti. Tale corrispondenza fra spazi di Alexandroff e preordini è la chiave di volta per l'utilizzo di metodi topologici nella teoria combinatoria degli insiemi parzialmente ordinati. Il libro si chiude con un teorema di classificazione di spazi topologici finiti.

Questo volume presenta gli argomenti oggetto di un primo corso universitario dedicato alla Matematica applicata in campo economico ed aziendale. Dopo un Capitolo in cui vengono illustrate le nozioni di base della teoria degli insiemi e della logica, sono introdotti i concetti fondamentali riguardanti le funzioni reali di una variabile reale, i limiti e la continuità, il calcolo differenziale e il calcolo integrale per tali funzioni. Seguono due Capitoli dedicati, rispettivamente, all’algebra lineare e alle funzioni reali di più variabili reali, con alcuni approfondimenti utili anche per corsi più avanzati. Chiude il volume un’Appendice che contiene una presentazione dettagliata dell’argomento costituito dalle disequazioni, utilizzate ampiamente nel testo. In ogni Capitolo gli argomenti vengono presentati innanzitutto a livello teorico, e sono poi illustrati attraverso una ricca serie di esempi, risolti in modo dettagliato, infine sono proposti numerosi esercizi da svolgere, dei quali è riportata la soluzione.

Il Teorema di Pitagora riassume in modo esemplare le proprietà uniche ed esclusive dell’angolo retto. Nella tradizione è legato al demone divino del filosofo di Samo, ma risale in realtà a tempi remoti ed è patrimonio comune di diverse culture. Ripresentandosi regolarmente in formalismi complessi, questo celeberrimo Teorema si è rivelato una delle acquisizioni stabili e irrinunciabili della matematica, che continua a servirsene anche nelle sue tecniche avanzate. Ma se da un lato esprime aspetti essenziali del pensiero antico, dall’altro offre un osservatorio privilegiato per scoprire come il calcolo moderno ha provveduto a rimuovere con ogni cura i motivi religiosi e filosofici che hanno segnato la sua origine. La conseguenza di questa rimozione è la rinuncia a una sfera più ampia dell’esattezza, e a quel mondo ideale che per Hermann Weyl ne costituiva l’intimo cuore. Un cuore che questo nuovo, acuminato libro di Paolo Zellini ci permette di avvertire nelle sue pulsazioni più segrete.

Questo testo non è un manuale, né, tantomeno, un’opera di consultazione. Non sostituisce in nessun modo la frequenza di un corso universitario, in vista della quale, però, si propone come utile premessa. Il suo valore formativo è quello di un libro di lettura, che, più che fornire una serie di risposte pronte all’uso, intende preparare il lettore a cogliere il significato di un insieme imprecisato di domande.