Matematica

La teoria dell'approssimazione è un capitolo della Matematica presente in diversi contesti scientifici e in Analisi numerica costituisce la base teorica per la costruzione di varie procedure stabili e convergenti. Il volume, rivolto agli studenti della laurea magistrale in Matematica e agli studiosi della disciplina, tratta l'approssimazione trigonometrica di funzioni periodiche e l'approssimazione algebrica di funzioni con dominio limitato e non limitato. Vengono messi in evidenza stime della migliore approssimazione, teoremi di immersione fra spazi funzionali, disuguaglianze polinomiali, convergenza di somme di Fourier e interpolazione di Lagrange.

Il libro fornisce i criteri di divisibilità dei numeri che terminano per 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, le conseguenze dei criteri di divisibilità dei numeri che terminano per 1, 3, 7 e 9 e illustra la possibilità di usare tali criteri per risolvere l'atavico problema di scomporre il prodotto di due numeri primi. L'ultimo capitolo del libro presenta un criterio di divisibilità generale proposto e provato dal prof. Alberto Peretti, nonché l'utilizzo di tale teorema per dimostrare i criteri di divisibilità proposti dall'autore.

Oltre due millenni separano la scoperta dei numeri irrazionali, a opera dei pitagorici, dalla rigorosa definizione del concetto di numero reale computabile da parte di Alan Turing. Questo volume riformula idee che hanno segnato lo sviluppo del pensiero matematico da Pitagora a Turing, mostrando come, attraverso progressivi affinamenti dell’analisi concettuale, il divario tra numeri e geometria venga a ricomporsi in un fecondo rapporto dialettico. Il suo intento è di far riflettere sul profondo legame tra matematica e filosofia, e provare l’efficacia della matematica nel definire questioni filosofiche fondamentali: la comprensione dell’infinito; l’esistenza di concetti apparentemente impossibili, come i numeri irrazionali e immaginari, i punti sull’orizzonte, gli infinitesimi, la geometria non euclidea; la diversa natura dei concetti di verità e dimostrazione. Dalle armonie musicali alla scienza dei calcolatori, la cultura dell’Occidente prende forma da una duplice matrice. Se la matematica greca deriva il suo carattere dimostrativo dalla speculazione filosofica, la filosofia moderna trova un suo alfabeto nella lingua matematica. Nei nove capitoli del presente volume, il lettore avrà modo di apprezzare come la semplicità della descrizione matematica esalti lo spessore filosofico dei concetti.

"Il volume, nei tre capitoli in cui è suddiviso, affronta tre argomenti che riguardano la finanza matematica. Il primo capitolo tratta il modello di base per descrivere e discutere i prezzi di attività finanziarie aleatorie, chiamate titoli, quotate su un mercato organizzato. Si tratta di un modello teorico, ma di enorme valore sia concettuale sia operativo, tant'è che tutti i modelli della finanza non sono che varianti, magari raffinatissime e tecnicamente molto complesse, del semplice modello di base. Nel secondo capitolo si affronta la teoria dell'utilità attesa, tanto spesso utilizzata in modelli economici e finanziari. La sua straordinaria capacità di riuscire a impostare e a risolvere una enormità di problemi fa purtroppo sovente dimenticare i suoi limiti di applicabilità. Per tale motivo ho cercato di chiarirne i fondamenti concettuali. Il terzo capitolo è dedicato alla selezione di portafogli, argomento ormai piuttosto trito e presente in numerose discipline economiche e aziendali. Ho cercato di soffermarmi in particolare sui suoi aspetti meno trattati: le dimostrazioni dei teoremi e specialmente un'analisi critica dei suoi presupposti. Le pagine finali del volume sono dedicate agli esercizi." (L'autore)

È possibile battere il banco? Esiste un metodo infallibile? Quali sono le possibilità di vincere al Superenalotto? E quelle di fare un poker d'assi? Qual è il fatturato del gioco d'azzardo in Italia? Quanta gente gioca e quanto spende? Cosa vuol dire essere dipendenti patologici dalle scommesse? Si può guarire? Ma soprattutto: è possibile vaccinarsi? L'autore solleva elementi di riflessione che riguardano queste e altre domande in un appassionante viaggio tra i segreti della matematica del gioco d'azzardo e del calcolo delle probabilità. Lasciatevi guidare da un intreccio narrativo coinvolgente e dalla forza degli esempi: partendo da concetti di base, senza dar nulla per scontato, vi convincerete che la ludopatia non esiste, perché non è il gioco il problema, ma l'azzardo, e scoprirete che la matematica può aiutare a capire il mondo che ci circonda. Un anziano pensionato, un giovane barista, un professore appena entrato negli "anta": tre generazioni a confronto per dimostrare l'impensabile e, soprattutto, vincere la più ardua delle scommesse. Perché la matematica può non solo essere utile e intrigante, ma anche la vera protagonista della storia.

Insegnamento per problemi, per ricordare che il pensiero matematico nasce, più o meno direttamente, per risolvere alcuni problemi e che, pur nella sua libertà, il formalismo elaborato deve alla fi ne mostrare la sua utilità nella risoluzione del problema originario; matematica e realtà, per sottolineare che i problemi di cui sopra possono essere di natura completamente diversa ma che è bene, in questo periodo, far capire ai nostri studenti che la matematica si trova anche nella vita di tutti i giorni e che la realtà quotidiana offre numerosi e interessanti esempi di questioni che possono essere proficuamente affrontate utilizzando proprio il linguaggio matematico; didattica laboratoriale, per esprimere la volontà di affiancare e tendenzialmente sostituire l’insegnamento più tradizionale e trasmissivo (con il suo addestramento che punta sull’acquisizione di tecnicismi più o meno esasperati) con una didattica che veda gli studenti in un ruolo maggiormente attivo. A queste parole-chiave (e ad altre che le specificano e le completano) e alla didattica laboratoriale realizzata effettivamente in classe si sono rifatti – con tutta la loro libertà, naturalmente – gli autori degli articoli che compaiono in questo numero di Alice & Bob. Il precedente n. 48 (intitolato “Esperienze didattiche 1”) aveva ospitato le analoghe riflessioni maturate nell’esperienza della prima edizione dei corsi MathUp. Rimangono, gli interventi di questo numero di Alice & Bob, una testimonianza del lavoro svolto quest’anno. È materiale “vivo”, frutto del concreto lavoro in classe, che può aiutare altri colleghi a progettare analoghe esperienze didattiche. Come già scrivevamo nella presentazione del n. 48, il quaderno è un contributo alla circolazione di nuove idee e nuove pratiche didattiche, emerso da un impegno realizzato in diverse aree geografi che e in diversi tipi di scuole, nella speranza che singole testimonianze e specifiche pratiche innovative trasformino prima possibile un sentire comune in un modello didattico più convincente per contenuti e metodologie.

La natura del 'continuo' è un problema di singolare profondità del quale si sono occupati filosofi e matematici per più di due millenni. Il problema è astratto ma riguarda situazioni concrete e probabilmente è connesso con la natura profonda dell'operatività della mente umana. L'autore giunge alla conclusione che il continuo non è rinvenibile in ciò che esiste, ma consiste nella sintesi tra ciò che esiste e le sue potenzialità non manifestate, utilizzando esempi concreti e astratti.

Euclide, uno dei più grandi matematici dell’antichità, creò i quattro postulati della geometria conformi alla riga e al compasso, gli strumenti che mostrano la platonica «bellezza delle forme... che derivano dalla retta e dal cerchio», e al paradigma aristotelico di disciplina scientifica fondata su premesse «vere, prime, immediate, più note della conclusione, anteriori a essa e causa di essa». Lo stesso Aristotele, evidenziando la difficoltà di «dimostrare le rette parallele», aveva gettato le basi del più grande enigma scientifico della storia, il problema delle parallele: appurato che i quattro postulati non ne fornivano la soluzione, Euclide inventò un contorto e dissonante quinto postulato il quale sconfessava in toto i canoni estetici di Platone e logici di Aristotele. Con la sua sciagurata trasgressione Euclide lanciò una sfida matematica durata più di due millenni: il quinto postulato è un vero postulato o, piuttosto, un teorema? I sovrumani sforzi dimostrativi si rivelarono del tutto inefficaci e sortirono, all’opposto, l’effetto sconvolgente di frantumare l’unitarietà della geometria portando alla luce sepolti mondi non euclidei.

Notava Voltaire come Archimede possedesse almeno tanta immaginazione quanto Omero. E osservava Pirandello che «ogni opera di scienza è scienza e arte, come opera d'arte è arte e scienza». Non esistono dunque classifiche di merito tra matematica e letteratura, tanto meno divergenza o incomunicabilità; al contrario, c'è l'aspirazione comune a capire il mondo e la realtà, sia pure in forme diverse, ma spesso complementari o simmetriche, e a volte addirittura coincidenti. In particolare, anche le formule sono capaci di suscitare emozioni, così come le parole. I capitoli di questo libro, scritti da matematici appassionati di letteratura e letterati aperti verso la matematica, sono altrettanti contributi alla scoperta di questi affascinanti rapporti. Il libro rappresenta la seconda tappa di un ampio percorso esplorativo iniziato dagli autori con la pubblicazione nel 2016, in questa collana, del testo Matematica e letteratura. Analogie e convergenze.