Matematica

Questo testo è il risultato di rielaborazioni del materiale utilizzato dagli autori per le lezioni e per le esercitazioni tenute al Politecnico di Torino nell'ambito di corsi di Algebra Lineare (presso la II Facoltà di Ingegneria, sede di Vercelli) e di Geometria. Il suo contenuto può essere utilizzato come materiale didattico per la seconda parte degli attuali corsi di Geometria per Ingegneri e può rappresentare un valido strumento per lo studio successivo della geometria, dell'analisi in più variabili e della fisica.

Un'esposizione di tipo elementare, seppure il più possibile rigorosa, dei concetti fondamentali del Calcolo combinatorio e di alcuni tipici schemi risolutivi, introduce un significativo numero di esercizi di diversa difficoltà (alcuni immediati, altri tutt'altro che banali). Di tutti i problemi proposti viene poi data la risoluzione, più o meno dettagliata e segnalando, in molti casi, gli errori tipici. Si fornisce così allo studente un'utile occasione di preparazione a un tipo di ragionamento che non si lascia facilmente rinchiudere in schemi standard e di routine. Tale allenamento non è per se stesso, ma è in vista di successive applicazioni ad altri capitoli della matematica, quali il Calcolo delle probabilità e la Matematica del finito. In questa seconda edizione, è stata migliorata l'esposizione, aggiungendo quelle osservazioni e quei risultati di cui l'esperienza didattica ha segnalato la mancanza. È stato altresì sensibilmente aumentato il numero degli esercizi proposti.

Primo di un gruppo di testi dedicati alla geometria in preparazione alle gare di matematica, il libro si propone di fornire una raccolta di teoremi, tecniche ed esercizi per aiutare lo studente che desideri approfondire la preparazione in geometria, nella speranza di insegnargli anche ad apprezzarne la profonda eleganza. Non è un manuale scolastico: pertanto non contiene, tranne alcune eccezioni, le dimostrazioni dei teoremi che sono di volta in volta enunciati e utilizzati. Il testo è incentrato su problemi delle gare di matematica, ed è dedicato, oltre che a tutti gli studenti che vogliano cimentarsi nelle competizioni, a tutti coloro che siano disposti a mettersi alla prova con esercizi e dimostrazioni. L'autore si augura che possa essere utile anche a chi si prepara per le prove di ammissione alle scuole superiori universitarie.

Dall'incommensurabile all'uno, al due, al dieci, al n... Se c'è stato un momento nella storia in cui il caos che circonda l'uomo ha lasciato il posto a un simulacro di ordine e comprensione è stato quando venne concepito il numero. Da allora i numeri hanno plasmato la nostra realtà, la nostra cultura e il nostro immaginario, ci hanno permesso di contare le pecore e inventare il commercio, di misurare le distanze e teorizzare gli attributi della divinità, di costruire cattedrali e annientare il nemico in battaglia. Attraversando epoche e nazioni, il matematico Tobias Dantzig ci guida tra aneddoti e protagonisti geniali alla scoperta di questa invenzione rivoluzionaria: dei tentativi preistorici di quantificare l'esistente che cosa è sopravvissuto nel nostro linguaggio? Qual è l'origine del concetto di zero? Quando abbiamo smesso di cercare «l'ultimo numero» e ci siamo persi nella vertigine dell'infinito? Quando il numero è diventato una funzione? Sono i quesiti che si intrecciano in un'appassionante narrazione della storia umana, un racconto che procede per prove, tentativi ed errori, strade battute e vicoli ciechi, fulminanti intuizioni e brucianti delusioni, tenuto insieme dalle intelligenze dei grandi personaggi che hanno permesso ad aritmetica e geometria di fare il salto dai misteriosi precursori alessandrini Pappo e Diofanto a Leopold Kronecker e Henri Poincaré. Con "Numero" il Saggiatore propone al lettore italiano un testo fondamentale della divulgazione scientifica: una guida accessibile e chiara ai segreti dei numeri, che unisce una scrittura di rara piacevolezza a una conoscenza sconfinata della materia. Arricchito dalla curatela dello studioso Joseph Mazur.

La statistica è utile per addentrarsi nello studio delle scienze della vita, delle scienze psicologiche e sociali, delle discipline mediche e sanitarie; e la matematica serve a capire la statistica, che ha un patrimonio di idee, una storia e un bagaglio di metodi specifici, non riducibili a semplici applicazioni della matematica. C’è poi una terza disciplina, che sta assumendo un ruolo sempre più importante: l’informatica. Un cambiamento notevole rispetto alla prima edizione riguarda proprio l’utilizzo dei mezzi informatici. Moduli di matematica e statistica si propone di veicolare correttamente le idee matematiche senza immergersi nei formalismi. Gli autori privilegiano una presentazione basata sull’interpretazione geometrica dei concetti, favoriti dagli sviluppi tecnologici recenti, che rendono facilmente accessibili strumenti di rappresentazione grafica su computer, tablet e smartphone. In particolare, suggeriscono di non usare più calcolatrici tascabili o sistemi di calcolo sofisticati, ma raccomandano l’uso del linguaggio R: un linguaggio orientato espressamente alle elaborazioni statistiche, di pubblico dominio, multipiattaforma e supportato da una vasta comunità di utenti a livello internazionale. In appendice ne viene fornita una breve descrizione e un’icona contraddistingue i paragrafi (esempi, laboratori, complementi ed esercizi) per lo studio dei quali è consigliato o necessario l’uso di R.

Il volume esamina la struttura delle algebre monounarie finite (X, f), dove X è un insieme ed f una funzione da X ad X. Ne vengono date rappresentazioni grafiche e combinatorie, varie caratterizzazioni e criteri di classificazione, in particolare del numero di algebre non isomorfe. Si contano e si caratterizzano poi le algebre polinomiali, in particolare nel caso di f biiettiva. Dopo aver definito su alcune algebre monounarie anche delle operazioni binarie, si presentano in appendice una serie di cataloghi, statistiche, problemi e programmi per computer attinenti a questo argomento.

Una civiltà aliena sufficientemente evoluta potrebbe avere il suo Aristotele, il suo Dante Alighieri e il suo Beethoven ma filosofia, letteratura e musica sarebbero probabilmente diverse dalle nostre... Quello di cui però possiamo essere certi è che qualunque essere pensante si trova prima o poi di fronte alla necessità di contare e utilizzare i numeri naturali, arrivando alla conclusione che 1577 non è un numero primo perché è 19 volte 83.

Il volume presenta la prima parte di un excursus sulle "costruzioni geometriche" in qualunque modo intervengano nella matematica sviluppatasi nel periodo d'oro della cultura araba (secc. IX-XIII). È analizzata la produzione scientifica dei matematici dei secc. IX-X: Al-Khw?rizm?, i fratelli Ban? M?s?, Th?b?t Ibn Q?rr?, Ab? Kam?l, N'?m ibn M?s?, Al-Khazin, Ibn Sin?n, Al-Quh? e Ibn Sahl. L'itinerario tracciato è selezionato tra i tanti possibili, essendo la produzione scientifica di questi matematici considerevole e varia. Ne risulta un quadro d'insieme composito e armonioso, che tocca molti aspetti dello sviluppo della matematica tra i secc. IX-X. L'attività di tanti di questi matematici si svolge presso la Casa della Saggezza di Bagdad e influenza le regioni al di là del Tigri e dell'Eufrate fino in Egitto, da una parte, e fino a Teheran e oltre, dall'altra. Le costruzioni geometriche evidenziano come i matematici spazino dalla geometria elementare (piana e solida) alla geometria delle coniche, dall'algebra delle equazioni alla loro soluzione per mezzo di intersezione di curve.

Noriko è una giornalista alle prime armi, lavora per il Nagasake Times e desidera con tutta se stessa affrontare argomenti veramente importanti, come la cronaca politica e gli affari esteri. Ma sarà all'altezza? Per fortuna c'è mr. Sen, il suo capo con la fissazione per l'analisi, che le insegnerà come affrontare i vari casi con un approccio matematico. Con "I manga pelle scienze-matematica" seguirete Noriko mentre, passo dopo passo, imparerà che l'analisi non è semplicemente un corso con cui scremare laureandi spocchiosi. Capirete come con l'analisi sia possibile interpretare le leggi cella fisica, dell'economia e del mondo che ci circonda, grazie a esempi concreti come la probabilità, le curve della domanda e dell'offerta, l'economia dell'inquinamento e la densità del shochu, il delizioso liquore giapponese. Mr Sen insegnerà a Noriko a: usare le perivate per capire la velocità di variazione di una funzione; applicare il teorema fondamentale del calcolo e capire la relazione tra la derivata di una funzione e il suo integrale; integrare e derivare le funzioni trigonometriche e altre funzioni importanti; affrontare funzioni con le perivate in più variabili; usare gli sviluppi di Taylor per approssimare funzioni non banali per mezzo dei polinomi. Sia che vi troviate alle prese per la prima volta con un corso di analisi o che vi serva semplicemente un rapido ripasso, ne "I manga delle scienze-matematica" troverete quello che vi serve!

Scolpiti nel nostro passato, intrecciati al nostro presente, i numeri influenzano la percezione del mondo e di noi stessi più di quanto siamo soliti pensare. I numeri e la nascita delle civiltà è l’affascinante racconto del lungo processo con il quale i numeri sono giunti a potenziare le capacità cognitive della nostra specie, dando avvio a una vera e propria rivoluzione nella cultura dell’uomo. Attingendo da un vasto repertorio di nuove scoperte maturate nell’ambito della psicologia cognitiva, dell’antropologia, della primatologia e della linguistica, Caleb Everett mostra gli innumerevoli progressi che i numeri hanno reso possibili: dalla concettualizzazione del tempo allo sviluppo della scrittura e dell’agricoltura, tutte tappe fondamentali per la nascita delle civiltà umane. Il concetto di numero, spiega l’autore, è un’invenzione dell’uomo, uno strumento, proprio come la ruota, sviluppato e perfezionato nel corso dei millenni. I numeri ci consentono di comprendere le quantità in modo esatto, ma non sono innati. Le ricerche condotte di recente ci confermano che in assenza di un sistema numerico, ovverosia di un linguaggio che preveda una rappresentazione (verbale e/o scritta) delle specifiche quantità presenti in natura, queste ultime non sarebbero percepibili dall’uomo (come non lo sono da bambini in età prelinguistica, da popolazioni “anumeriche” e da altre specie animali). In effetti, senza l’invenzione di questo potente strumento linguistico, non saremmo in grado di comprendere quantità superiori a tre; oltre questo angusto limite, le nostre menti riescono solo a produrre stime approssimative. Everett prende in esame i vari tipi di sistemi numerici che le diverse società hanno sviluppato, dimostrando che la maggior parte di essi si è evoluta a partire da fattori anatomici come le dita della mano. L’antropologo americano ci illustra inoltre gli affascinanti studi condotti sulle popolazioni amazzoniche per dimostrare che, diversamente dalla lingua, i numeri non sono un patrimonio universale degli esseri umani. Eppure, senza i numeri, il mondo come lo conosciamo non esisterebbe.

Proseguendo l'esame di cosa implichi introdurre il tempo irreversibile nei meccanismi logici di indagine sui fatti, questo libro affronta due questioni: prima, le tante differenze - a cominciare dal non ricorrere all'utilizzo dell'infinito e dal modellarsi sulla probabilità - tra la matematica che include in parte il tempo fisico da un lato, e, dall'altro, la matematica tradizionale ed i grandi cambiamenti scientifici del '900, dalla relatività alla meccanica quantistica; successivamente, le trasformazioni indotte dall'uso del tempo nel regolare il convivere tra individui ed anche gli strumenti istituzionali concepiti per adeguare le regole ai cambiamenti sotto la spinta di cittadini diversi, utilizzando sia il metodo della scienza per capire che il conflitto democratico per decidere. Nel passare, il tempo non lascia niente di inalterato. Affrontare il nuovo con efficacia significa sperimentare, non esaltarsi per motivi terreni o divini e non isolarsi dagli altri.