Matematica

Tutte le spiegazioni necessarie per capire davvero Tutta la terminologia e i concetti chiave; Richiami storici che raccontano le tappe evolutive della disciplina; I possibili collegamenti di algebra e geometria con altre discipline (fisica, biologia, informatica, economia...); In ogni capitolo, box con utili esercizi di applicazione dei concetti e delle regole appena presentati. Questi gli argomenti presentati: Gli insiemi numerici: i numeri naturali, interi, razionali, reali, complessi; Algebra: espressioni, equazioni, disequazioni; Funzioni irrazionali e trascendenti: potenze, radici, logaritmi, esponenziali, funzioni trigonometriche e iperboliche; Geometria analitica: piano cartesiano, retta, parabola, circonferenza, ellisse e iperbole; Analisi matematica: calcolo infinitesimale e differenziale, limiti, derivate, integrali; Studi di funzione: campi di esistenze, simmetrie, massimi e minimi, asintoti, concavità; Equazioni differenziali: di I e II ordine, a variabili separabili e lineari, integrazione numerica.

«L'aritmetica è il cuore della matematica. Essa è la disciplina che studia la struttura dei numeri naturali. L'aritmetica non è tuttavia costituita da una unica teoria. Le leggi dei numeri naturali si possono inquadrare in una gerarchia di teorie che partendo dal sistema elementare Q arrivano fino ai sistemi molto potenti dell'aritmetica degli ordini superiori.» (dalla Prefazione)

L'aritmetica, la geometria, il calcolo e la logica hanno un ruolo rilevante nella Divina Commedia. Nei numeri Dante trova la chiave per immaginare la struttura del mondo ultraterreno in coerenza con un più ampio disegno cosmologico e teologico e una indicazione sicura di come ricondurre gli affari umani ad un progetto di salvezza. Inoltre, la matematica gli fornisce esempi di verità e certezze altrimenti inesprimibili, e, allo stesso tempo, segnala i limiti che la ragione umana non è in grado di varcare. E, dunque, il poeta non esita ad attingere a piene mani al sapere matematico del tempo. Alla matematica dotta dei sapienti, che rilegge alla luce del messaggio cristiano la tradizione pitagorica e platonica. Alla matematica pratica dei mercanti, per i quali il numero è misura e calcolo. Nelle mani di Dante gli esempi e le dimostrazioni matematiche si trasfigurano in immagini e metafore potenti al servizio di una complessa visione poetica dell'uomo e del suo destino. Nessun altro poema ha tanta matematica e scienza come la Divina Commedia. Il libro è un viaggio tra i riferimenti matematici della Divina Commedia, investigati per funzione dimostrativa che il poeta vi attribuisce.

Il libro spiega una nuova invenzione, che è stata approvata dal presidente della Commissione Ministeriale del Ministero dell’Istruzione, dell’Università e della Ricerca di Roma, come specificato nel documento riportato all’interno di questo volume. Trattasi di una “Regola degli incrementi proporzionali” che permette innumerevoli applicazioni in svariati campi, riguardo agli incrementi proporzionali. Siccome tutto cambia se un dato parametro subirà un saputo incremento positivo o negativo in un dato tempo. La sola formula ci da quanto possiamo prelevare prima se poi il parametro crescerà oppure quanto dobbiamo integrare se il parametro calerà in quel tempo, per ottenere il valore finale uguale a prima oppure con la voluta perdita od anche col voluto guadagno, in funzione del solo incremento e perdita o guadagno, indipendentemente dagli estremi. Vengono proposti numerosi esempi pratici di semplice utilizzo da parte di tutti e da studenti delle scuole medie, Istituti superiori e Università.

Questo libro si inserisce in un progetto didattico più ampio e articolato, che è stato completato con la pubblicazione dei volumi analisi due e analisi tre. Lo scopo dell'opera è al tempo stesso semplice e ambizioso: portare gli studenti delle facoltà scientifiche a una buona padronanza dei concetti essenziali dell'analisi matematica. due le scelte che discendono da questa impostazione: per quanto riguarda i contenuti, si è volutamente rinunciato a inserire la materia in quadri astratti, privilegiando invece la presentazione dei concetti fondamentali e dei teoremi di maggior rilievo. Per quanto riguarda la forma in cui la materia è presentata, si distinguono due livelli di comprensione: il primo mira all'acquisizione precisa e completa, con esempi, esercizi, osservazioni e commenti, dei concetti fondamentali. Il secondo livello contiene le dimostrazioni non banali, i lemmi propedeutici ai risultati importanti, argomenti complementari ed esempi critici.

Dal 1936 i costi delle procedure meccaniche di calcolo si misurano contando i passi delle macchine di Turing. Costruiremo la macchina di Turing "universale", capace di effettuare tutte le procedure meccaniche di calcolo concepibili fino a oggi. Tale macchina, pur essendo un oggetto puramente matematico come il numero n, si è progressivamente materializzata nel computer. Approfondiremo la distinzione tra procedure abbordabili, come quelle che regolano l'addizione e la moltiplicazione, e procedure di calcolo il cui costo è proibitivo. Individueremo una classe di problemi la cui complessità oggi non ci è nota, e che sono velocemente traducibili l'uno nell'altro. Il prototipo di questi problemi, denominato sat, chiede di decidere se una formula della logica di Boole sia soddisfacibile. Il problema P/NP chiede se SAT possa essere risolto da una macchina di Turing che utilizza un numero di passi polinomiale rispetto alla lunghezza della formula in input. Se tale macchina esistesse, molti problemi importanti nell'industria e nella vita quotidiana sarebbero risolvibili a costi drasticamente ridotti rispetto ai costi attuali. Come vedremo analizzando l'algoritmo di Euclide, l'ignoranza di algoritmi veloci per il problema SAT ha un'applicazione utile nella crittografia a chiave pubblica.

Analisi funzionale. Argomenti scelti e applicazioni accanto ai risultati astratti, presenta un numero considerevole di applicazioni. L'opera può quindi costituire il materiale di riferimento per un primo corso di Analisi Funzionale nell'ambito di una laurea magistrale in Matematica o in Fisica, specialmente se il corso di studi prevede anche un curriculum di tipo applicativo. Il contenuto è frutto di una scelta precisa: la gamma è volutamente ridotta in modo che ciascuno dei temi affrontati e molti dei risultati presentati siano corredati da una considerevole quantità di osservazioni, commenti, applicazioni significative, esempi chiarificatori ed esercizi. Alcuni problemi vengono riproposti più volte e affrontati di nuovo con gli strumenti offerti dalla teoria man mano sviluppata. Una speciale attenzione è rivolta ai riferimenti interni, particolarmente ricchi, in modo che il lettore possa facilmente trovare tutti i collegamenti necessari.

Se la logica regola le forme e le leggi del pensiero, come può integrarsi con il ragionamento matematico? Tratteggiare i confini di questa congiunzione significa affrontare un viaggio tra le correnti della filosofia e della matematica, giungendo infine a un elemento altro, integrato: la logica matematica. Abraham Robinson ricostruisce il quadro storico di questo complesso percorso, tratteggiandone i rapporti con i diversi àmbiti della filosofia e del linguaggio, in un testo che, malgrado la complessità dell'argomento, riesce a mantenere salda una straordinaria forza divulgativa. Arricchiscono il volume la prefazione di Gabriele Lolli e il saggio di Beppo Levi del 1934 sulla logica matematica.